"Nice picnic was arranged by them last month" или "Last month a nice picnic was arranged by them"?
И, если можно, объясните почему.

в первом варианте не хватает aртикля а nice picnic....
и первое,и второе предложение верны,так как обстоятельство времени (когда) может употребляться и в начале,и в конце предложения.