Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45 градусов. Найти объем пирамиды.

Объем пирамиды

Т.к. ∆АВС - правильный, то его площадь

Основание О высоты МО правильной пирамиды - центр описанной и вписанной окружностей. В правильном  ∆СКВ СК - медиана, биссекториса, высота.

В  ∆СКВ  КВ=3, ∠СВК=60°, СК = СВsin60°=6·√3/2=3√3

О - точка пересечения медиан ∆АВС, СО=2СК/3=2√3

Высота МО⊥(АВС), тогда МО⊥CO. ∆МОС - прямоугольный и ∠МСО=45°, значит и ∠СМО=45°. Значит, ∆МОС - равнобедренный, тогда СО=МО =2√3.

Таким образом,