Предмет: Математика
Автор: Artik220199
Вопрос задан 8 лет назад

15 задание. Помогите разобраться со степенью в основании логарифма

Приложения:

Ответы

Ответ дал: yugolovin

ОДЗ: $9^{x-6} textgreater 0 -$ всегда;

$9^{x-6}not= 1Rightarrow x-6not= 0Rightarrow xnot=6;$

$x+2 textgreater 0Rightarrow x textgreater -2;$

$x^2 textgreater 0Rightarrow xnot= 0;$

$log_{9^{x-6}} (x^2)not= 0Rightarrow x^2not=1Rightarrow xnot= pm 1$

Отсюда

$xin (-2;-1)cup(-1;0)cup(0;1)cup(1;6)cup(6;+infty).$

Применим формулу перехода к новому основанию:

$log_{x^2}(x+2)<1$ ;

$log_{x^2}(x+2) textless log_{x^2}(x^2),$

что равносильно на ОДЗ неравенству

$(x^2-1)(x+2-x^2) textless 0; (x-1)(x+1)(x^2-x-2) textgreater 0;$

(x-1)(x+1)(x+1)(x-2)>0; $(x+1)^2(x-1)(x-2) textgreater 0.$

Метод интервалов дает

$xin (-infty; -1)cup (-1;1)cup (2;+infty).$

Остается пересечь с ОДЗ.

Ответ: $(-2;-1)cup(-1;0)cup(0;1)cup(2;6)cup(6;+infty)$

По поводу степени в основании. Верна формула

$log_{a^n}b=frac{1}{n}log_a b.$ Правда, с ней нужно быть аккуратным. Но если известно, что a>0, ей спокойно можно пользоваться. Строгое обоснование проводить лень, объясню на пальцах. Логарифм числа b по основанию - это в какую степень надо возвести a, чтобы получить b (точнее - показатель степени). Но если a возведено уже в степень n, то для получения b степень понадобится в n раз меньше.