Предмет: Алгебра
Автор: Энста1
Вопрос задан 10 лет назад

Решите неравенство двумя способами: (я напишу только один пример, просто хочу посмотреть образец)
1) х^2-x-9<0

Ответы

Ответ дал: WhatYouNeed

Каким бы мы способом не решали, стоит разложить выражение на множители.

$displaystyle x^2-x-9=0\ D=(-1)^2 -4cdot 1cdot (-9)=1+36=37\ \ x_1 =frac{-(-1)+sqrt{D}}{2cdot 1} =frac{1+sqrt{37}}{2} \ \ x_2 =frac{-(-1)-sqrt{D}}{2cdot 1} =frac{1-sqrt{37}}{2} \ \ x^2-x-9=1cdot (x-x_1)(x-x_2)=bigg( x-frac{1+sqrt{37}}{2} bigg) bigg( x-frac{1-sqrt{37}}{2} bigg)$

Тогда имеем: $displaystyle bigg( x-frac{1+sqrt{37}}{2} bigg) bigg( x-frac{1-sqrt{37}}{2} bigg)<0$

1ый способ (через знак множителей):

Произведение будет отрицательным, если один из множителей отрицательный, а другой положительный.

$begin{bmatrix}begin{Bmatrix}displaystyle x-frac{1+sqrt{37}}{2} >0\ displaystyle x-frac{1-sqrt{37}}{2} <0end{matrix} \ begin{Bmatrix}displaystyle x-frac{1+sqrt{37}}{2} <0\ displaystyle x-frac{1-sqrt{37}}{2} >0end{matrix}end{matrix} quad begin{bmatrix}begin{Bmatrix}displaystyle x>frac{1+sqrt{37}}{2} \ displaystyle x<frac{1-sqrt{37}}{2} end{matrix} \ begin{Bmatrix}displaystyle x<frac{1+sqrt{37}}{2} \ displaystyle x>frac{1-sqrt{37}}{2} end{matrix}end{matrix}$

Ответ: $displaystyle xin bigg( frac{1-sqrt{37}}{2} ;frac{1+sqrt{37}}{2} bigg)$

2ой способ (метод интервалов):

Отмечаем на координатной прямой точки, в которых выражение обращается в ноль. И выкалываем их т.к. неравенство строгое (<, а не ≤). Мы получили 3 интервала. Перед множителями знак положителен, поэтому на правом интервале ставим "плюс", далее чередуем знак через каждую отмеченную точку (нету чётных степеней, где знак может не измениться). Нас интересует, когда меньше, поэтому выбираем интервалы с минусом.

Ответ: $displaystyle xin bigg( frac{1-sqrt{37}}{2} ;frac{1+sqrt{37}}{2} bigg)$

3ий способ (графический):

y = x²-x-9

Это парабола, ветви которой направлены вверх. У функции есть два нуля:

$displaystyle x_1 =frac{1+sqrt{37}}{2} ;qquad x_2 =frac{1-sqrt{37}}{2}$ . Нас интересует, когда меньше нуля, это когда график ниже оси Ox.