Ответы
Ответ дал:
0
Например, как сократить дробь
[frac{{a - b}}{{b - a}}?]
Для начала вспомним, как от выражения (a-b) перейти к выражению (b-a). Для этого нужно вынести «минус» за скобки (при этом все знаки слагаемых в скобках изменятся на противоположные):
[a - b = - (b - a)]
В дроби вынести «минус» за скобки можно или в числителе, или в знаменателе. По свойству алгебраических дробей, знак «минус» можно вынести перед дробью:
[frac{{a - b}}{{b - a}} = frac{{a - b}}{{ - (a - b)}} = frac{{ - (b - a)}}{{b - a}} = - frac{{a - b}}{{a - b}}]
В данном примере числитель и знаменатель дроби сокращаем на (a-b):
[frac{{a - b}}{{b - a}} = - frac{{a - b}}{{a - b}} = - 1.]
Рассмотрим другие примеры сокращения алгебраических дробей такого вида.
[1)frac{{4ab - 2{b^2}}}{{ab - 2{a^2}}}]
Сокращать можно только множители!
В числителе и знаменателе дроби — многочлены. Чтобы сократить дробь, надо разложить многочлены на множители. В числителе есть общий множитель 2b, в знаменателе — a. Вынесем их за скобки:
[frac{{4ab - 2{b^2}}}{{ab - 2{a^2}}} = frac{{2b(2a - b)}}{{a(b - 2a)}} = ]
Выражения, стоящие в скобках в числителе и в знаменателе, отличаются только знаками. Вынесем знак «минус» перед дробью, например, из знаменателя (при этом все знаки слагаемых, стоящих в скобках, изменятся на противоположные):
[ = - frac{{2b(2a - b)}}{{a(2a - b)}} = - frac{{2b}}{a};]
После чего сокращаем дробь на общий делитель (2a-b).
[2)frac{{14 - 2m}}{{{m^2} - 49}}]
В числителе выносим общий множитель 2 за скобки, знаменатель раскладываем по формуле разности квадратов:
[frac{{14 - 2m}}{{{m^2} - 49}} = frac{{2(7 - m)}}{{(m - 7)(m + 7)}} = ]
Вынесем «минус» перед дробью, например, из числителя:
[ = - frac{{2(m - 7)}}{{(m - 7)(m + 7)}} = - frac{2}{{m + 7}};]
Сокращаем дробь на (m-7).
[3)frac{{xy - 3y - 2x + 6}}{{18 - 6x}}]
В числителе — 4 слагаемых. Группируем первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым. В знаменателе выносим общий множитель 6 за скобки:
[frac{{xy - 3y - 2x + 6}}{{18 - 6x}} = frac{{(xy - 3y) + ( - 2x + 6)}}{{6(3 - x)}} = ]
В числителе выносим общие множители за скобки: из первых скобок — y, из вторых — -2, затем — (x-3):
[ = frac{{y(x - 3) - 2(x - 3)}}{{6(3 - x)}} = frac{{(x - 3)(y - 2)}}{{6(3 - x)}} = ]
Сокращаем дробь на (x-3):
[ = - frac{{(x - 3)(y - 2)}}{{6(x - 3)}} = - frac{{y - 2}}{6} = ]
Если после сокращения перед дробью остался «минус», а в числителе или знаменателе есть разность, «минус» надо внести в разность (при этом знаки слагаемых изменятся на противоположные). Вносим «-» в числитель, -(y-2)=2-y:
[ = frac{{2 - y}}{6};]
[{(a - b)^2} = {( - (b - a))^2} = {(b - a)^2}]
Соответственно,
[frac{{{{(a - b)}^2}}}{{{{(b - a)}^2}}} = frac{{{{(a - b)}^2}}}{{{{(a - b)}^2}}} = frac{{{{(b - a)}^2}}}{{{{(b - a)}^2}}} = 1.]
То есть, чтобы сменить знаки слагаемых в квадрате разности, «минус» за скобки (и перед дробью) выносить не нужно. Это верно не только для квадрата разности, но и для любой другой четной степени:
[{(a - b)^{2n}} = {(b - a)^{2n}}.]
В случае возведения разности в нечетную степень при смене знаков слагаемых знак «минус» за скобки выносить нужно:
[{(a - b)^{2n + 1}} = - {(b - a)^{2n + 1}}.]
Примеры.
[4)frac{{81{x^2} - 180xy + 100{y^2}}}{{100{y^2} - 81{x^2}}} = ]
В числителе — полный квадрат разности, в знаменателе — разность квадратов. Раскладываем на множители:
[ = frac{{{{(9x - 10y)}^2}}}{{(10y - 9x)(10y + 9x)}} = ]
Удобнее изменить знаки слагаемых вверху, поскольку при этом не нужно изменять знак перед дробью:
[ = frac{{{{(10y - 9x)}^2}}}{{(10y - 9x)(10y + 9x)}} = ]
Сокращаем дробь на (10y-9x):
[ = frac{{10y - 9x}}{{10y + 9x}};]
[5)frac{{{{(b - 4)}^3}}}{{{{(4 - b)}^7}}} = ]
Вынесем знак «минус» перед дробью, например, из знаменателя:
[ = - frac{{{{(b - 4)}^3}}}{{{{(b - 4)}^7}}} = ]
Сокращаем на (b-4)³:
[ = - frac{1}{{{{(b - 4)}^4}}}.]
Сокращение дробей в алгебре — важная составляющая часть сложения, вычитания, умножения и деления алгебраических дробей. Упрощать рациональные выражения приходится при решении уравнений, неравенств, задач и т.д.
Далее мы будем рассматривать действия над алгебраическими дробями.
[frac{{a - b}}{{b - a}}?]
Для начала вспомним, как от выражения (a-b) перейти к выражению (b-a). Для этого нужно вынести «минус» за скобки (при этом все знаки слагаемых в скобках изменятся на противоположные):
[a - b = - (b - a)]
В дроби вынести «минус» за скобки можно или в числителе, или в знаменателе. По свойству алгебраических дробей, знак «минус» можно вынести перед дробью:
[frac{{a - b}}{{b - a}} = frac{{a - b}}{{ - (a - b)}} = frac{{ - (b - a)}}{{b - a}} = - frac{{a - b}}{{a - b}}]
В данном примере числитель и знаменатель дроби сокращаем на (a-b):
[frac{{a - b}}{{b - a}} = - frac{{a - b}}{{a - b}} = - 1.]
Рассмотрим другие примеры сокращения алгебраических дробей такого вида.
[1)frac{{4ab - 2{b^2}}}{{ab - 2{a^2}}}]
Сокращать можно только множители!
В числителе и знаменателе дроби — многочлены. Чтобы сократить дробь, надо разложить многочлены на множители. В числителе есть общий множитель 2b, в знаменателе — a. Вынесем их за скобки:
[frac{{4ab - 2{b^2}}}{{ab - 2{a^2}}} = frac{{2b(2a - b)}}{{a(b - 2a)}} = ]
Выражения, стоящие в скобках в числителе и в знаменателе, отличаются только знаками. Вынесем знак «минус» перед дробью, например, из знаменателя (при этом все знаки слагаемых, стоящих в скобках, изменятся на противоположные):
[ = - frac{{2b(2a - b)}}{{a(2a - b)}} = - frac{{2b}}{a};]
После чего сокращаем дробь на общий делитель (2a-b).
[2)frac{{14 - 2m}}{{{m^2} - 49}}]
В числителе выносим общий множитель 2 за скобки, знаменатель раскладываем по формуле разности квадратов:
[frac{{14 - 2m}}{{{m^2} - 49}} = frac{{2(7 - m)}}{{(m - 7)(m + 7)}} = ]
Вынесем «минус» перед дробью, например, из числителя:
[ = - frac{{2(m - 7)}}{{(m - 7)(m + 7)}} = - frac{2}{{m + 7}};]
Сокращаем дробь на (m-7).
[3)frac{{xy - 3y - 2x + 6}}{{18 - 6x}}]
В числителе — 4 слагаемых. Группируем первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым. В знаменателе выносим общий множитель 6 за скобки:
[frac{{xy - 3y - 2x + 6}}{{18 - 6x}} = frac{{(xy - 3y) + ( - 2x + 6)}}{{6(3 - x)}} = ]
В числителе выносим общие множители за скобки: из первых скобок — y, из вторых — -2, затем — (x-3):
[ = frac{{y(x - 3) - 2(x - 3)}}{{6(3 - x)}} = frac{{(x - 3)(y - 2)}}{{6(3 - x)}} = ]
Сокращаем дробь на (x-3):
[ = - frac{{(x - 3)(y - 2)}}{{6(x - 3)}} = - frac{{y - 2}}{6} = ]
Если после сокращения перед дробью остался «минус», а в числителе или знаменателе есть разность, «минус» надо внести в разность (при этом знаки слагаемых изменятся на противоположные). Вносим «-» в числитель, -(y-2)=2-y:
[ = frac{{2 - y}}{6};]
[{(a - b)^2} = {( - (b - a))^2} = {(b - a)^2}]
Соответственно,
[frac{{{{(a - b)}^2}}}{{{{(b - a)}^2}}} = frac{{{{(a - b)}^2}}}{{{{(a - b)}^2}}} = frac{{{{(b - a)}^2}}}{{{{(b - a)}^2}}} = 1.]
То есть, чтобы сменить знаки слагаемых в квадрате разности, «минус» за скобки (и перед дробью) выносить не нужно. Это верно не только для квадрата разности, но и для любой другой четной степени:
[{(a - b)^{2n}} = {(b - a)^{2n}}.]
В случае возведения разности в нечетную степень при смене знаков слагаемых знак «минус» за скобки выносить нужно:
[{(a - b)^{2n + 1}} = - {(b - a)^{2n + 1}}.]
Примеры.
[4)frac{{81{x^2} - 180xy + 100{y^2}}}{{100{y^2} - 81{x^2}}} = ]
В числителе — полный квадрат разности, в знаменателе — разность квадратов. Раскладываем на множители:
[ = frac{{{{(9x - 10y)}^2}}}{{(10y - 9x)(10y + 9x)}} = ]
Удобнее изменить знаки слагаемых вверху, поскольку при этом не нужно изменять знак перед дробью:
[ = frac{{{{(10y - 9x)}^2}}}{{(10y - 9x)(10y + 9x)}} = ]
Сокращаем дробь на (10y-9x):
[ = frac{{10y - 9x}}{{10y + 9x}};]
[5)frac{{{{(b - 4)}^3}}}{{{{(4 - b)}^7}}} = ]
Вынесем знак «минус» перед дробью, например, из знаменателя:
[ = - frac{{{{(b - 4)}^3}}}{{{{(b - 4)}^7}}} = ]
Сокращаем на (b-4)³:
[ = - frac{1}{{{{(b - 4)}^4}}}.]
Сокращение дробей в алгебре — важная составляющая часть сложения, вычитания, умножения и деления алгебраических дробей. Упрощать рациональные выражения приходится при решении уравнений, неравенств, задач и т.д.
Далее мы будем рассматривать действия над алгебраическими дробями.
Похожие вопросы
6 лет назад
6 лет назад
9 лет назад
9 лет назад
9 лет назад