Какие катионы могут находиться в анализируемом растворе, если отдельные порции его не дали осадков ни с HCl, ни с H2S, ни с (NH4)2S, ни с (NH4)2CO3?

Скорее всего, это катионы натрия Na⁺, калия K⁺, аммония NH₄⁺. Их карбонаты, сульфиды и хлориды хорошо растворимы в воде.

Сульфид аммония в водном растворе не существует. Вещество гидролизуется
(NH₄)₂S +H₂O = NH₄HS + NH₃*H₂O