лучи солнца заиграли

Лучи - подлежащее, выражено существительным.
Заиграли - сказуемое, выражено глаголом.
Солнца - дополнение, выражено существительным.

лучи (чего?) солнца

СПЕЦИАЛЬНО ДЛЯ ВСЕХ ПРИДИРЧИВЫХ!
В начальной школе НЕ ТРЕБУЮТСЯ: схема, характеристика, двусоставное, ССП, СПП, и т. д., и т.п..

Лучи -подлежащее - существительное
Солнца - дополнение- существительное
Заиграли - сказуемое- глагол