Зарядка для хвоста-7. Задача для супер-пупер знатоков! Придумал, но в свое время не смог решить. Вот теперь "добил" ее. Так что попробуйте и вы тоже.

Построить треугольник по стороне, радиусу описанной окружности и биссектрисе угла, противоположному этой стороне. ("биссектриса" - подразумевается что это отрезок биссектрисы от угла до стороны)

Дерзайте, авось получится!

Так, вторая попытка :) Постараюсь коротко.
1) Окружность заданного радиуса R.
2) в ней хорда заданной длины AB.
3) диаметр DF через середину AB - точку M; обозначу DM = d;
4) на MF, как на диаметре, строится окружность. O1 - её центр
5) DK - касательная к этой окружности, её длина в квадрате равна 2R*d
6) продлить O1K на половину заданной длины биссектрисы L/2; тогда
DP^2 = (L/2)^2 + 2Rd;
7) продлить DP на L/2; до точки C2;
8) полученным радиусом DC2 провести окружность с центром в D до пересечения с первой окружностью. Это точка C - третья вершина треугольника ABC.

Смысл построения вот в чем. Где бы не лежала точка С на окружности, биссектриса угла С все равно придет в точку D. Пусть при этом она пересекает AB в точке C1. По условию CC1 = L - заданная величина.
Очевидно, что DM/DC1 = DC/DF; или, если обозначить DC1 = x; то
d/x = (x + L)/(2R); или x^2 + x*L - 2Rd = 0; (x + L/2)^2 = (L/2)^2 + 2Rd; (это я просто решил квадратное уравнение :))
Отрезок DP на чертеже как раз и построен так, что DP^2 = (L/2)^2 + 2Rd;