Можно ли в американском английском писать buth а не bath?

Нет, нельзя. Такого слово как "buth" нету. Правильно пишется "bath" так и в амер.англ и брит.англ. Произноситься по разному , но пишется одинаково.
амер.  |bæθ| 
брит.  |bɑːθ|

Американского языка нет, а есть английский. и нет такого слово в английском языке, как buth. Поэтому можно использовать только bath.