sin(x) + cos(x) = a/sin(x)
Решить при a = 0 и при всех значениях параметра a.

Рассмотрим случай, когда

получаем уравнение
- однородное тригонометрическое уравнение. Такие уравнения традиционно решаются путём деления обеих частей на либо на . Поделим на косинус.



P.S.: здесь надо остановиться и отметить, почему можно разделить на синус, либо косинус. Как мы знаем, имеем право делить лишь на выражения, которые нигде в своей области определения не обращаются в 0. Почему косинус нигде не обратится в 0? Предположим обратное. Пусть . Но тогда из самого уравнения находим, что и . Может ли такое быть? Нет, не может. В силу основного тригонометрического тождества - противоречие. Поэтому косинус ВСЮДУ отличен от 0 и можно на него разделить, что мы и сделали.

Пусть теперь . Тогда у нас имеется уравнение вида:

Помножим обе части на с условием, разумеется, что
Имеем систему:

Разбираемся с первым уравнением. Оно тоже однородное(сводится к нему), только уже второй степени.



Здесь уже хорошо видно, что если ,то уравнение  имеет вид:


Отсюда                    или             
                                  

Последнее уравнение тоже однородное, мы поделили на . Решения первого уравнения также удовлетворяют неравенству, поскольку если cos x = 0, то sin x = 1.

Пусть Тогда  делим обе части на

Пусть ctg x = t
.
Это уравнение является квадратным, поскольку Его дискриминант

Далее рассмотрим такие случаи:
1), тогда квадратное уравнение относительно котангенса не имеет корней.  исходное уравнение не имеет корней. Это произойдёт при:
   
Ищем корни квадратного трёхчлена:
     
Решая неравенство, получаем, что при
   ∈∞∪+∞ исходное уравнение не имеет решений.

2)Если же , то есть ,
что происходит при ∈∪∪,то квадратное уравнение имеет два различных корня:

Возвращаемся обратно к x:

      
                                                           или
   

     Вписываются ли эти серии  в условие ?
Пусть . Тогда из уравнения моментально получаем, что
                                           
         , откуда либо a = 0(мы уже рассмотрели его), либо (что невозможно). То есть, все наши серии являются решениями уравнения при всех указанных а.

3)Осталось рассмотреть две граничные точки(при которых D = 0).
        а)Если , то
           - здесь тоже синус явно отличен от 0.
        б)Если , то
            

Таким образом, можем записать ответ к задаче в таком виде:
Ответ: при - уравнение не имеет решений; при уравнение имеет две серии решений ; при уравнение имеет единственную серию решений
; при аналогично ; при   решений нет.

если непонятно, как получен ответ, я поясню. При отдельных а полученные серии решений - это частные случаи серий, зависящих от параметра, в связи с чем эти точки стоит прикреплять к концам соответствующих интервалов.

Есть же такая формула: 1 + ctg^2(x) = 1/sin^2(x)

да, есть