квадрат, многоугольник, прямоугольник, четырёхугольник записать так чтобы название каждой следующей фигуры  включало название предыдущей

Все перечисленные фигуры относятся к многоугольникам. Значит, последним словом будет "многоугольник". Он включает в себя все остальные фигуры.
Квадрат и прямоугольник относятся к четырехугольникам. Значит, предпоследним (третьим) словом будет "четырехугольник". Он включает в себя квадрат и прямоугольник.
Квадрат является частным случаем прямоугольника. Значит, вторым словом будет "прямоугольник".
Тогда первым словом будет "квадрат"
Итак, получили следующую последовательность:

квадрат, прямоугольник, четырехугольник, многоугольник.

   Запишем, что обозначает название каждой фигуры:
    №1 - квадрат; №2 - многоугольник; №3 - прямоугольник; №4- четырехугольник.

№1. К в а д р а т. - это прямоугольник (т.е.повторяется название фигуры №3), у которого все стороны равны, у него 4 прямых угла и равные стороны
№2. М н о г о у г о л ь н и к -  это плоская фигура, ограниченная ломаной линией из трех и более звеньев. Звенья (отрезки, стороны) могут быть как разными, так и равными, и углы в том числе прямыми. Никаких упоминаний фигур других номеров нет.
№3. П р я м о у г о л ь н и к - это многоугольник - четырехугольник ( упоминание фигуры №4) с 4-мя прямыми углами и равными противоположными сторонами.
№4. Ч е т ы р е х у г о л ь н и к - это многоугольник (упоминание фигуры №2) с 4-мя углами и сторонами, которые могут быть и разными, и равными в том числе)     Т.е, если нужно построить ряд фигур, в котором название каждой следующей включало бы название предыдущей, то есть было бы более общим (для предыдущего частного случая), то  это будет ряд:     
квадрат - это прямоугольник (с равными сторонами) - это четырехугольник (с прямыми углами) - это многоугольник (с 4-мя углами).     
Т.е. №1 ∈ №3 ∈ №4 ∈ №2

      В приложении показана "матрешка" из данных фигур, определения которых вкладываются друг в друга, как матрешки.