Палочка разломана на 15 частей так, что ни из каких трёх частей нельзя сложить
треугольник. Докажите, что среди частей есть такая, которая длиннее трети исходной
палочки.

Треугольник невозможен  если  сумма  двух  меньших отрезков меньше или  равна третьему. 

Ломаем  палочку на  15  отрезков с  соотношениями 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987

Длина  палочки  2582 частей.

2582:3=860,7  ˂   987,  что  и  следовало  доказать.