Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x^2 + 4x, y=0

a < 0 => ветки параболы вниз.

Разложим на множители:
-x^2 + 4x = -x(x - 4).

Точки пересечения с осью OY: x = 0, x = 4.

Неопределенный интеграл от -x^2 + 4x равен -(x^3)/3 + 2x^2 + C (все функции табличные).

По формуле Ньютона-Лейбница имеем:
S = F(b) - F(a) = F(4) - F(0) = -(4^3)/3 + 2*4^2 - 0 = -21,(3) + 32 = 10,(6)

Ответ: 10,(6)