Предмет: Математика
Автор: gena269
Вопрос задан 8 лет назад

Найти пределы используя правило Лопиталя

Приложения:

Ответы

Ответ дал: AssignFile

a) Неопределённость ∞-∞ приводим к неопределённости 0/0, которую раскрываем по правилу Лопиталя.
Сначала приводим к общему знаменателю, затем два подряд раза применяем правило Лопиталя.

$lim_{x to inft0} ( frac{1}{x} - frac{1}{arctgx} ) = lim_{x to inft0} ( frac{arctgx-x}{x*arctgx} ) = lim_{x to inft0} ( frac{(arctgx-x)'}{(x*arctgx)'} ) = \ \ = lim_{x to inft0} ( frac{ frac{1}{x^2+1} -1}{arctgx + x* frac{1}{x^2+1} } ) = lim_{x to inft0} ( frac{ frac{-2x}{(x^2+1)^2} -0}{ frac{1}{x^2+1} + frac{1*(x^2+1)-x*2x}{(x^2+1)^2} } ) =$

$= frac{ frac{-2*0}{(0^2+1)^2} }{ frac{1}{0^2+1} + frac{1*(0^2+1)-0*2*0}{(0^2+1)^2} } = frac{ frac{0}{1} } { frac{1}{1} + frac{1-0}{1} } = frac{0}{2} = 0$

б) Используем свойство логарифма $a = e^{lna}$

$lim_{x to infty} (1+x)^{ frac{1}{x} } = lim_{x to infty} e^{ ln(1+x)^{ frac{1}{x} } } = lim_{x to infty} e^{frac{1}{x} ln(1+x) } = \ \ = e^{lim_{x to infty} frac{ln(1+x) }{x} } = e^{lim_{x to infty} frac{(ln(1+x))' }{x'} } = e^{lim_{x to infty} frac{ frac{1}{1+x} }{1} } = \ \ = e^{lim_{x to infty} frac{1}{1+x}} = e^{lim_{x to infty} frac{1}{1+infty}} = e^0 = 1$