Предмет: Алгебра
Автор: mashakolachuk1
Вопрос задан 8 лет назад

Решите уравнение

4sinx=3cosx

Ответы

Ответ дал: AnonimusPro

делаем замену:
$y=tg(frac{x}{2})$
так как:
$tg(frac{x}{2})=frac{1-cosx}{sinx}=frac{sinx}{1+cosx}$
то выражаем синус и косинус через y:
$ysinx=1-cosx \cosx=1-ysinx \sinx=y(1+cosx) \cosx=1-y*y(1+cosx) \cosx=1-y^2-y^2*cosx \y^2cosx+cosx=1-y^2 \cosx(y^2+1)=1-y^2 \cosx=frac{1-y^2}{y^2+1} \sinx=y(1+frac{1-y^2}{y^2+1}) \sinx=y(frac{y^2+1+1-y^2}{y^2+1}) \sinx=frac{2y}{y^2+1}$
подставляем:
$4*frac{2y}{y^2+1}=3*frac{1-y^2}{y^2+1} \y^2+1 textgreater 0,forall x in R \4*2y=3(1-y^2) \8y=3-3y^2 \3y^2+8y-3=0 \D=64+36=100=10^2 \y_1= frac{-8+10}{6} = frac{1}{3} \y_2= frac{-8-10}{6} =-3$
обратная замена:
$y=frac{1}{3} \sinx= frac{ frac{2}{3} }{1+ frac{1}{9} } \sinx=0,6 \cosx= frac{1- frac{1}{9} }{1+ frac{1}{9} } \cosx=0,8$
но если sinx=0,6 и cosx=0,8 - то x - для синуса и косинуса - общий угол(так как и синус и косинус положительны => это угол в 1 четверти), поэтому 1 корень можно записать например, через арккосинус :
$x_1=arccos(0,8)+2pi n, n in Z$
аналогично со 2 корнем:
$y=-3 \sinx= frac{-6}{9+1} =- frac{6}{10} =-0,6 \cosx= frac{1-9}{9+1} =- 0,8$
это синус и косинус одного угла, но так как и синус и косинус - отрицательны => угол этот находится в 3 четверти. В 1 корне sinx=0,6; cosx=0,8. Во 2 корне sinx=-0,6; cosx=-0,8. Значит можно сделать вывод, что точки диаметрально противоположные и решение всего уравнения можно записать одной формулой:
$x=arccos(0,8)+pi n, n in Z$
Ответ: $x=arccos(0,8)+pi n, n in Z$

Похожие вопросы

Русский язык

2 года назад

Сделайте пожалуйста синтаксический разбор предложения "Компания охотников ночевала на свежем сене" И морфологический разбор слова "на сене"

Английский язык

2 года назад

как перевести слово surname

Геометрия

2 года назад

В треугольнике ABC известно что A равно 60 градусов C равно 90 градусов BC равно 7,5 см и проведена высота СМ Найдите длину высоты СМ Даю 20 баллов

Литература

2 года назад