2 мячика покрашены в какой-нибудь цвет. Требуется доказать, что среди них найдутся либо 10 мячиков разных цветов, либо 10 одноцветных.

Доказательство можно построить так: Для невыполнения условия необходимо, чтобы было не более 9 мячиков различных цветов. Таким образом, максимально возможное количество 9 мячиков 9 различных цветов = 9х9 = 81. 82-й мячик будет либо другого цвета, либо 10-м какого-либо цвета.