На основании AD трапеции ABCD имеется точка E, такая что периметры треугольников ABE, BCE, CDE равны. Докажите что BC=1/2AD

У нас получается параллелограмм АВСЕ, ВЕ и АС - диагональ. По свойству в параллелограме противолежащие стороны и углы равны => ВС = АЕ, ВА = СЕ. В параллелограме ВСDЕ по тому же свойству ВС = ЕD, ВЕ = СD.  ВС = АЕ = ЕD, а значит равен 1/2 отрезка AD. Ч.т.д.