Предмет: Математика
Автор: Аноним
Вопрос задан 8 лет назад

Решите плизз) ❤️дала 100 балла. Вычислить числовые характеристики случайных чисел.
Распределение значений Х проводится по сходящейся функции (функцию прикрепила сверху) и называется нормальным. Найти математическое ожидание и дисперсию.

Приложения:

Ответы

Ответ дал: Аноним

Пусть $xi$ - случайная величина.

Найдем математическое ожидание $M(xi-a)$ , воспользовавшись формулой $displaystyle Mg(xi)= intlimits^{+infty}_{-infty} {g(x)p(x)} , dx$ и затем сделаем замену $(x-a)/sigma=t$ , получим:

$M(xi-a)=displaystyle intlimits^{+infty}_{-infty}(x-a)p(x)dx=intlimits^{+infty}_{-infty} frac{x-a}{ sqrt{2 pi }sigma } e^{- frac{(x-a)^2}{2sigma^2} }dx=\ \ \ = frac{1}{ sqrt{2 pi } } intlimits^{+infty}_{-infty} frac{x-a}{sigma}e^{-0.5( frac{x-a}{sigma})^2 } dx= frac{sigma}{ sqrt{2 pi } } intlimits^{+infty}_{-infty}te^{-t^2/2}dt=\ \ \ = frac{sigma}{sqrt{2 pi }} intlimits^{}_{[-n;n]}te^{-t^2/2}dt=0$

Последний интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку, таким образом $M(xi-a)=0$ , следовательно $Mxi=a$

Найдем дисперсию

$displaystyle Dxi=M(xi-Mxi)^2=M(xi-a)^2=intlimits^{+infty}_{-infty}(x-a)^2 frac{1}{sigma sqrt{2 pi } } e^{- frac{(x-a)^2}{2sigma^2} }dx~boxed{=}$

После замены $(x-a)/sigma=t$ имеем

$boxed{=}~displaystyle frac{sigma^2}{ sqrt{2 pi } } intlimits^{+infty}_{-infty}t^2e^{-t^2/2}dt=- frac{sigma^2}{ sqrt{2 pi } } intlimits^{+infty}_{-infty}td(e^{-t^2/2})= \ \ =frac{sigma^2}{sqrt{2 pi }} intlimits^{+infty}_{-infty}e^{-t^2/2}dt= frac{sigma^2}{sqrt{2 pi }}cdot sqrt{2 pi } =sigma^2$

Последний интеграл как интеграл Эйлера-Пуассона равен $sqrt{2 pi }$