Предмет: Алгебра
Автор: qcode25
Вопрос задан 8 лет назад

Решить интегралы на фото за 25 балов

Приложения:

Ответы

Ответ дал: Аноним

$y'=3^{2x+y}$
Это дифференциальное уравнение относится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными

$displaystyle int 3^{-y}dy=int9^xdx~~Rightarrow~~~- frac{3^{-y}}{ln 3} = frac{9^x}{ln 9} +C$
Получили общий интеграл

2) $xyy'-y^2=x^2$
Это дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной относительно производной, однородное(выполняется условие однородности)

Пусть $y=ux$ , тогда по правилу дифференцирования произведения двух функций: $y'=u'x+u$

$ux^2(u'x+u)-u^2x^2=x^2\ \ u'ux+u^2-u^2=1\ \ u'ux=1$
Последнее уравнение это уравнение с разделяющимися переменными

$displaystyle int u du=int frac{dx}{x} ~~~Rightarrow~~~ u^2/2=ln |x|+C$

Возвращаемся к обратной замене

$dfrac{y^2}{2x^2}=ln |x|+C$ - Общий интеграл.

3) $xy'-4y=x^2 sqrt{y}$
Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной относительно производной, неоднородное.

Применим метод Лагранжа

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения

$xy'-4y=0~~Rightarrow~~~ displaystyle int dfrac{dy}{y} =int frac{4dx}{x} ~~~Rightarrow~~~ ln |y|=ln x^4+ln C\ \ y=Cx^4$

Примем константу за функцию, т.е. $C=C(x)$ , т.е. $y=C(x)x^4$ , тогда $y'=C'(x)x^4+4x^3C(x)$

Подставим в исходное уравнение

$C'(x)x^5+4x^4C(x)-4C(x)x^4=x^2 sqrt{C(x)x^4} \ \ x^5C'(x)=x^4 sqrt{C(x)} \ \ xC'(x)= sqrt{C(x)} \ \ displaystyle int frac{dC(x)}{ sqrt{C(x)} } =int frac{dx}{x} ~~~Rightarrow 2 sqrt{C(x)} =ln |x|+C_1\ \ C(x)= frac{1}{4}cdot bigg(ln |x|+C_1bigg)^2$

Общее решение : $displaystyle y=frac{x^4}{4}cdot bigg(ln |x|+C_1bigg)^2$

Похожие вопросы

Русский язык

2 года назад

проверен. слова к серебро,скатерть,колотит ,сковорода,полоса

Русский язык

2 года назад

Прошу помочь ............

Физика

2 года назад

Срочно! Помогите.Зная свою массу и площадь ботинка,вычислите,какое давление вы производите при ходьбе и какое стоя на месте.( Можете посмотреть подробнее это задание в учебнике "учебник 7 класс

География

2 года назад