решить неравенство
2 log2(x корень из 5)- log2(x/1-x)меньше или равно log2(5x^2+1/x-2)
Приложения:
Ответы
Ответ дал:
0
Левая часть неравенства определена только при 0 < x < 1.
При таких x следующие переходы не меняют множество решений:
![displaystyle 2log_2(xsqrt 5)-log_2left(frac x{1-x}right)leqslantlog_2left(5x^2+frac1x-2right)\
log_2left(5x^2cdotfrac{1-x}xright)leqslantlog_2left(5x^2+frac1x-2right)\
5x(1-x)leqslant5x^2+frac1x-2quad|cdot x textgreater 0\
5x^2(1-x)leqslant5x^3-2x+1\
5x^2-5x^3leqslant 5x^3-2x+1\
10x^3-5x^2-2x+1geqslant0\
5x^2(2x-1)-(2x-1)geqslant0\
(5x^2-1)(2x-1)geqslant0\
left(x+frac{sqrt5}5right)left(x-frac{sqrt5}5right)left(x-frac12right)geqslant0](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle+2log_2%28xsqrt+5%29-log_2left%28frac+x%7B1-x%7Dright%29leqslantlog_2left%285x%5E2%2Bfrac1x-2right%29%5C%0Alog_2left%285x%5E2cdotfrac%7B1-x%7Dxright%29leqslantlog_2left%285x%5E2%2Bfrac1x-2right%29%5C%0A5x%281-x%29leqslant5x%5E2%2Bfrac1x-2quad%7Ccdot+x+textgreater++0%5C%0A5x%5E2%281-x%29leqslant5x%5E3-2x%2B1%5C%0A5x%5E2-5x%5E3leqslant+5x%5E3-2x%2B1%5C%0A10x%5E3-5x%5E2-2x%2B1geqslant0%5C%0A5x%5E2%282x-1%29-%282x-1%29geqslant0%5C%0A%285x%5E2-1%29%282x-1%29geqslant0%5C%0Aleft%28x%2Bfrac%7Bsqrt5%7D5right%29left%28x-frac%7Bsqrt5%7D5right%29left%28x-frac12right%29geqslant0+ "displaystyle 2log_2(xsqrt 5)-log_2left(frac x{1-x}right)leqslantlog_2left(5x^2+frac1x-2right)\
log_2left(5x^2cdotfrac{1-x}xright)leqslantlog_2left(5x^2+frac1x-2right)\
5x(1-x)leqslant5x^2+frac1x-2quad|cdot x textgreater 0\
5x^2(1-x)leqslant5x^3-2x+1\
5x^2-5x^3leqslant 5x^3-2x+1\
10x^3-5x^2-2x+1geqslant0\
5x^2(2x-1)-(2x-1)geqslant0\
(5x^2-1)(2x-1)geqslant0\
left(x+frac{sqrt5}5right)left(x-frac{sqrt5}5right)left(x-frac12right)geqslant0")
В приведённых переходах имеет смысл пояснить только переход от второй строчки к третьей. Во-первых, логарифм по основанию 2 – возрастающая функция, так что знак при отбрасывании логарифмов остается прежним. Во-вторых, на 0 < x < 1 левая часть неравенства положительна, тогда правая часть (не меньшая левой) тоже положительна, значит, никаких дополнительных условий на положительность логарифмируемого выражения писать не нужно.
Полученное неравенство легко решается методом интервалов, получаем предварительный ответ
![displaystyle xinleft[-frac{sqrt5}5,frac{sqrt5}5right]cupleft[frac12,inftyright)](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle+xinleft%5B-frac%7Bsqrt5%7D5%2Cfrac%7Bsqrt5%7D5right%5Dcupleft%5Bfrac12%2Cinftyright%29 "displaystyle xinleft[-frac{sqrt5}5,frac{sqrt5}5right]cupleft[frac12,inftyright)")
После учета неравенства 0 < x < 1 окончательно имеем
![displaystyle boxed{xinleft(0,frac{sqrt5}5right]cupleft[frac12,1right)}](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle+boxed%7Bxinleft%280%2Cfrac%7Bsqrt5%7D5right%5Dcupleft%5Bfrac12%2C1right%29%7D "displaystyle boxed{xinleft(0,frac{sqrt5}5right]cupleft[frac12,1right)}")
При таких x следующие переходы не меняют множество решений:
В приведённых переходах имеет смысл пояснить только переход от второй строчки к третьей. Во-первых, логарифм по основанию 2 – возрастающая функция, так что знак при отбрасывании логарифмов остается прежним. Во-вторых, на 0 < x < 1 левая часть неравенства положительна, тогда правая часть (не меньшая левой) тоже положительна, значит, никаких дополнительных условий на положительность логарифмируемого выражения писать не нужно.
Полученное неравенство легко решается методом интервалов, получаем предварительный ответ
После учета неравенства 0 < x < 1 окончательно имеем
Похожие вопросы
2 года назад
2 года назад
2 года назад
8 лет назад
8 лет назад
9 лет назад
9 лет назад