• Предмет: Математика
  • Автор: Pestra
  • Вопрос задан 8 лет назад

Найти общее решение диф. уравнения 1-ого порядка.
 x*y*y'=x^{2} +y^{2}

Ответы

Ответ дал: Аноним
0
Это дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенной относительно производной, однородное уравнение.

Пусть y=ux, тогда по правилу дифференцирования произведения y'=u'x+u, в результате чего должны получить уравнение с разделяющимися переменными.

ux^2(u'x+u)=x^2+u^2x^2\ \ u'ux+u^2=1+u^2\ \ u'ux=1
Получили уравнение с разделяющимися переменными.

displaystyle  frac{du}{dx}= frac{1}{ux}~~~Rightarrow~~~ int udu=int frac{dx}{x}   ~~~Rightarrow~~~  frac{u^2}{2}=ln |x|-ln |C| \ \  ln bigg|frac{x}{C}bigg|= frac{u^2}{2}  ~~~Rightarrow~~~ x=Ce^{u^2/2}

Возвращаясь к обратной замене, получим общий интеграл
                                                                    boxed{x=Ce^{y^2/2x^2}}
Похожие вопросы