При каком значении a система неравенств имеет единственное решение

Приложения:

Ответы

Ответ дал: alkorb

первое выражение ≥1, второе ≤ 1.

Эта система будет иметь решение, только если оба этих выражения будут РАВНЫ 1 !

$left{begin{matrix} frac{3}{x-a}=1<br />\ |x-2a-2|=1<br /><br />end{matrix}right.$

Выражаем из первого х:

$frac{3}{x-a}=1\ \ x-a=3 \ x=a+3$

и подставляем во второе:

$|x-2a-2|=1 \ |a+3-2a-2|=1 \ |1-a|=1 \ \ begin{bmatrix} 1-a=1 \ 1-a=-1 end{matrix} \ \ a_1=0 \ a_2=2$

Остается проверить, при каком из полученных параметров будет одно решение:

1) a=0

$left{begin{matrix} frac{3}{x}geq1\ |x-2|leq1 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} frac{3}{x}-1geq 0\ -1leq x-2leq1 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} frac{3-x}{x}geq 0 \ 1leq xleq 3 end{matrix}right. Leftrightarrow \ \ Leftrightarrow left{begin{matrix} ---(0)+++[3]--->_x \ 1leq xleq 3 end{matrix}right. Leftrightarrow x in [1;3]$

Не удовлетворяет условию!

2) a=2

$left{begin{matrix} frac{3}{x-2}geq1\ |x-4-2|leq1 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} frac{3}{x-2}-1geq 0\ -1leq x-6leq1 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} frac{5-x}{x-2}geq 0 \ 5leq xleq 7 end{matrix}right. Leftrightarrow \ \ Leftrightarrow left{begin{matrix} ---(2)+++[5]--->_x \ 51leq xleq 7 end{matrix}right. Leftrightarrow x in {5}$