Предмет: Математика
Автор: Artemrrr
Вопрос задан 8 лет назад

Sin^3x-cos^3x -sinx • cosx =1

Ответы

Ответ дал: Аноним

$sin^3x-cos^3x-sin xcos x=1\ (sin x-cos x)(sin^2x+cos^2x+sin xcos x)-sin xcos x=1\ (sin x-cos x)(1+sin xcos x)-sin xcos x=1$

Положим $sin x-cos x=t$ , при этом $|t|leq sqrt{2}$ и возведем в квадрат обе части: $1-2sin xcos x=t^2~~Rightarrow~~ sin xcos x=frac{1-t^2}{2}$

Получим

$t(1+frac{1-t^2}{2}) -frac{1-t^2}{2}=1~~|cdot 2\ t(3-t^2)-1+t^2=2\ 3t-t^3-1+t^2-2=0\ t^3-t^2-3t+3=0\ t^2(t-1)-3(t-1)=0\ (t-1)(t^2-3)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей обращается в 0

$t-1=0~~~Rightarrow~~~ t_1=1$

$t^2-3=0~~~ Rightarrow~~~ t_{2,3}=pmsqrt{2}$ - не удовлетворяет условию при $|t|leq sqrt{2}$

Возвращаемся к обратной замене:

$sin x-cos x=1\ sqrt{2} sin(x-frac{pi}{4})=1\ sin(x-frac{pi}{4})=frac{1}{sqrt{2} } \ x-frac{pi}{4}=(-1)^kcdotfrac{pi}{4}+pi k,k in mathbb{Z}\ \ x=(-1)^kcdot frac{pi}{4}+frac{pi}{4}+pi k,k in mathbb{Z}$

Приложения:

Ответ дал: Artemrrr

Спасибо

Похожие вопросы

Английский язык

2 года назад

перевод слова sofa aнглиский язык

Русский язык

2 года назад

найти определения в предложении (ясное сверкающее утро)

Математика

2 года назад

Помогите расписать, там их 3

Математика

2 года назад

помогите срочно мне нужно

Математика

8 лет назад

dlina sadoboqo ucastka pramauqolnoy formi ravna 35.8M A SIRINA NA 12 M MENSE . CEMU RAVEN PEREMETR

Литература

8 лет назад

Подготовить рассказ о фантастических существах, действующих в повести Н.В.Гоголя "Ночь перед Рождеством" с цитированием наиболее значимых фрагментов ОЧЕНЬ СРОЧНО

Физика

9 лет назад

что характеризует ускорение

Математика

9 лет назад

Найдите обратную матрицу A^-1 если A=(210) (2-11) (3-24)