Решить уравнение .Оно ниже

Приложения:

Ответы

Ответ дал: xERISx

Решить неравенство :

$log_{1+2cosx}(1 + 3sinx)>log_{1+2cosx}(2+cosx)$

ОДЗ основания логарифма

$left { {{1+2cosx>0} atop {1+2cosxneq}1} right.;left { {{2cosx>-1} atop {2cosxneq}0} right. ;left { {{cosx>-0,5} atop {cosxneq}0} right.\ \ left { {{-2pi/3+2pi k<x<2pi/3+2pi k} atop {xneq}pi/2+pi n} right.$

ОДЗ подлогарифмических выражений

$left { {{1+3sinx>0} atop {2+cosx>0}} right. ;left { {{3sinx>-1} atop {cosx>-2}} ;left { {{sinx>-1/3} atop {x:R}} right. right.; \ \ left { {{-arcsin(1/3)+2pi k<x<pi +arcsin(1/3)+2pi k} atop {x:R}} right.$

ОДЗ: x ∈ (-arcsin(1/3)+2πk; π/2+2πk)∪(π/2+2πk; 2π/3+2πk); k∈Z

$log_{1+2cosx}(1 + 3sinx)>log_{1+2cosx}(2+cosx)$

Так как основания логарифмов содержат переменную х, то решение неравенства разбивается на 2 случая: основание больше единицы и основание положительное меньше единицы.

$left { {{1+2cosx>1} atop {1+3sinx>2+cosx}} right. ;left { {{cosx>0} atop {3sinx-cosx-1>0}} right.\ \ a)cosx>0;-frac{pi}{2}+2pi k<x<frac{pi}{2}+2pi k$

Для второго неравенства системы можно воспользоваться формулами универсальной тригонометрической подстановки, так как по ОДЗ

x ≠ π + 2πk

b) 3sinx - cosx - 1 > 0

$3*dfrac{2tgfrac{x}{2}}{1+tg^2frac{x}{2}} -dfrac{1-tg^2frac{x}{2}}{1+tg^2frac{x}{2}} -1>0\ \ dfrac{6tgfrac{x}{2}-1+tg^2frac{x}{2}-1-tg^2frac{x}{2}}{1+tg^2frac{x}{2}} >0\ \ dfrac{6tgfrac{x}{2}-2}{1+tg^2frac{x}{2}} >0$

Так как знаменатель дроби 1+tg²(x/2)≥1, то знак неравенства зависит только от числителя

6 tg (x/2) - 2 > 0

tg (x/2) > 1/3

arctg (1/3) + πm < x/2 < π/2 + πm, m ∈ Z

2arctg (1/3) + 2πm < x < π + 2πm

С учетом первого неравенства и ОДЗ

x ∈ (2arctg (1/3) + 2πk; π/2 + 2πk), k ∈ Z

$left { {{0<1+2cosx<1} atop {1+3sinx<2+cosx}} right. ;left { {{-0,5<cosx<0} atop {3sinx-cosx-1<0}} right.$

a) -0,5 < cosx < 0. Решение состоит из двух интервалов

x ∈ (-2π/3 + 2πk; -π/2+2πk) - не подходит под ОДЗ

x ∈ (π/2 + 2πk; 2π/3 + 2πk)

b) Второе неравенство решается аналогично первой системе с помощью универсальной тригонометрической подстановки, только со знаком '<'

6 tg (x/2) - 2 < 0

tg (x/2) < 1/3

-π/2 + πp < x/2 < arctg (1/3) + πp, p∈Z

-π + 2πp < x < 2 arctg (1/3) + 2πp

Так как из первого неравенства x ∈ (π/2 + 2πk; 2π/3 + 2πk) , то данная система не имеет решений.

Ответ: x ∈ (2 arctg(1/3) + 2πk; π/2+2πk); k∈Z

==========================================

2 способ. Покороче.

ОДЗ: x ∈ (-arcsin(1/3)+2πk; π/2+2πk)∪(π/2+2πk; 2π/3+2πk); k∈Z

Метод рационализации.Неравенство

$log_{1+2cosx}(1 + 3sinx)>log_{1+2cosx}(2+cosx)$

при всех допустимых значениях х равносильно неравенству

$(1+2cosx-1)(1 + 3sinx-(2+cosx)) textgreater 0\ 2cosx(3sinx-cosx-1) textgreater 0$

Для sinx и cosx в скобках использованы формулы универсальной тригонометрической подстановки через tg(x/2). Такая замена возможна, так как x = π + 2πh, h∈Z, в ОДЗ не входят. (п.1)

$2cosx*dfrac{6tgfrac{x}{2}-2}{1+tg^2frac{x}{2}} textgreater 0\ \ cosx* (3tgfrac{x}{2} -1) textgreater 0\ \ a) cos x = 0; x = frac{pi}{2} +pi m\ \b)3tgfrac{x}{2} -1=0; tgfrac{x}{2} =frac{1}{3} ;frac{x}{2} =arctgfrac{1}{3} +pi s;x=2arctgfrac{1}{3} +2pi s$