У трикутнику АВС зі сторонами a i b медіани, проведені до цих сторін, взаємно перпендикулярні. Знайдіть довжину третьої сторони трикутника.

См. рисунок.

.......................

Проведем медиану m к стороне с. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Медиана из прямого угла равна половине гипотенузы.

m/3=c/2 <=> m=3/2 c

По теореме Аполлония

a^2 +b^2 =2(m^2 +(c/2)^2) <=>

a^2 +b^2 =2((3/2 c)^2 +(c/2)^2) <=>

a^2 +b^2 =5c^2 <=>

c=√((a^2 +b^2)/5)