Предмет: Математика
Автор: ТДК
Вопрос задан 7 лет назад

Докажите, что

$sqrt[3]{9+sqrt{80}}+sqrt[3]{9-sqrt{80}} = 3$

Ответы

Ответ дал: NNNLLL54

Если выражение, стоящее в левой части равно 3, то при возведении левой части в куб мы должны получить 3³=27.

$Big (; sqrt[3]{9+sqrt{80}}+sqrt[3]{9-sqrt{80}}; Big )^3=(9+sqrt{80})+3sqrt[3]{(9+sqrt{80})^2}cdot sqrt[3]{9-sqrt{80}}+\\+3cdot sqrt[3]{9+sqrt{80}}cdot sqrt[3]{(9-sqrt{80})^2}+(9-sqrt{80})=\\=18+3cdot sqrt[3]{(9+sqrt{80})(9-sqrt{80})}cdot Big (; sqrt[3]{9+sqrt{80}}+sqrt[3]{9-sqrt{80}}; Big )=\\=18+3cdot sqrt[3]{81-80}cdot Big (; sqrt[3]{9+sqrt{80}}+sqrt[3]{9-sqrt{80}}; Big )=\\=18+3cdot Big (; sqrt[3]{9+sqrt{80}}+sqrt[3]{9-sqrt{80}}; Big ); ;$

$18+3cdot Big (; sqrt[3]{9+sqrt{80}}+sqrt[3]{9-sqrt{80}}; Big )=27; ; qquad ; ; Rightarrow \\sqrt[3]{9+sqrt{80}}+sqrt[3]{9-sqrt{80}}=frac{27-18}{3}\\boxed {sqrt[3]{9+sqrt{80}}+sqrt[3]{9-sqrt{80}}=3}$

Ответ дал: Misha001192

Рассмотрим подкоренное выражение, который представляет собой квадрат суммы

$9 + sqrt{80} = 9 + 4 sqrt{5} = 4 + 4 sqrt{5} + 5 = \ = {2}^{2} + 2 times 2 sqrt{5} + { (sqrt{5} )}^{2} = {(2 + sqrt{5}) }^{2} \$

Заметим, что =>

${(1 + sqrt{5} )}^{3} = {1}^{3} + 3 times {1}^{2} times sqrt{5} + 3 times 1 times { (sqrt{5}) }^{2} + { (sqrt{5} )}^{3} = \ \ = 1 + 3 sqrt{5} + 15 + 5 sqrt{5} = 16 + 8 sqrt{5} = 8(2 + sqrt{5} ) \ \ 2 + sqrt{5} = {( frac{1 + sqrt{5} }{2} })^{3}$

Подставляем найденные значения

$sqrt[3]{9 + sqrt{80} } + sqrt[3]{9 - sqrt{80} } = sqrt[3]{ 9 + 4 sqrt{5} } + sqrt[3]{9 - 4 sqrt{5} } = \ \ = sqrt[3]{ {(2 + sqrt{5} )}^{2} } + sqrt[3]{ {(2 - sqrt{5} )}^{2} } = sqrt[3]{ ({ frac{1 + sqrt{5} }{2} })^{6} } + sqrt[3]{( { frac{1 - sqrt{5} }{2} })^{6} } = \ \ = ({ frac{1 + sqrt{5} }{2} })^{2} + {( frac{1 - sqrt{5} }{2} })^{2} = frac{ {(1 + sqrt{5} })^{2} + {(1 - sqrt{5}) }^{2} }{4} = \ \ = frac{1 + 2 sqrt{5} + 5 + 1 - 2 sqrt{5} + 5 }{4} = frac{6 + 6}{4} = frac{12}{4} = 3 \$

Тождество доказано

Похожие вопросы

Русский язык

2 года назад

Сочинение: описание картины Яблонской "Утро"

Русский язык

2 года назад

кому типу относится этот текст Запиши этот текст узнай и запиши значение выделенного слова Выпиши из текста значение слов нос это нос это

Қазақ тiлi

2 года назад

Сольфеджио ре минордағы сандарды жаз т1,ү2,к3,т4,т53,т6,т64,s53,D53

История

2 года назад