Прошу, пожалуйста, помогите с задачей по физике.
На стальном тросе длиной 10 м и диаметром сечения 2 см со дна озера равномерно поднимают мраморную колонну массой 5,4 т. Определите удлинение троса (в миллиметрах). Деформацию считайте упругой; плотность воды - 1000 кг/м³; плотность мрамора - 2700 кг/м³; модуль упругости стали - 200 ГПа; ускорение свободного падения - 10 м/с². Ответ: 5,4.

Ответы

Ответ дал: Аноним

Дано:

$l_{0} = 10$ м

$d = 2$ см $= 0,02$ м

$m = 5,4$ т $= 5400$ кг

$rho_{B} = 1000$ кг/м³

$rho_{M} = 2700$ кг/м³

$E = 200$ ГПа $= 200 cdotp 10^{9}$ Па

$g = 10$ м/с²

======================

Найти: $Delta l - ?$

======================

Решение. На мраморную колонну действую три силы: сила тяжести $vec{F}_{T}$ , архимедова сила $vec{F}_{A}$ и сила упругости $vec{F}_{YvarPi P}$ .

Сила упругости и архимедова сила направлены перпендикулярно вверх, а сила тяжести - перпендикулярно вниз. Тогда из условия равновесия:

$vec{F}_{YvarPi P} + vec{F}_{A} = vec{F}_{T}$ ,

отсюда $vec{F}_{YvarPi P} = vec{F}_{T} - vec{F}_{A}$ , где $vec{F}_{T} = mvec{g}$ , а $vec{F}_{A} = rho_{B} gV$ , при объёме равном $V = frac{m}{rho_{M}}$ .

Следовательно, $F_{YvarPi P} = mg + frac{rho_{B} gm}{rho_{M}} = frac{mg(rho_{M} - rho_{B})}{rho_{M}}$ .

Определим силу упругости через механическое напряжение:

$F_{YvarPi P} = sigma S = frac{Evarepsilon pi D^{2}}{4} = frac{EDelta l pi D^{2}}{4l_{0}}$

Приравняем полученные значения силы упругости:

$frac{mg(rho_{M} - rho_{B})}{rho_{M}} = frac{EDelta l pi D^{2}}{4l_{0}}<br />$

Отсюда $Delta l = frac{4l_{0}mg(rho_{M} - rho_{B})}{E pi D^{2}rho_{M}}$

Определим значение искомой величины:

$Delta l = frac{4 cdotp 10 cdotp 5400 cdotp 10 cdotp (2700 - 1000)}{200 cdotp 10^{9} cdotp 3,14 cdotp 0,02^{2} cdotp 2700} = frac{3,672 cdotp 10^{9}}{6,7824 cdotp 10^{11}} thickapprox 0,0054$ м $= 5,4$ мм