Предмет: Алгебра
Автор: InvisorTech
Вопрос задан 8 лет назад

Найти все значения параметра а, при которых неравенство верно для любого х из отрезка: [-2;2]: $dfrac{a(1-2a)+2ax}{2ax+2a^{2}-1} textless 0$
Задание решить с пояснениями. Ответ должен получиться такой: $a in (-infty ; dfrac{-2-sqrt{6}}{2})cup (dfrac{5}{2} ; +infty)$

Ответы

Ответ дал: NeZeRAvix

$dfrac{a(1-2a)+2ax}{2ax+2a^2-1} <0\ dfrac{a-2a^2+2ax}{2a^2+2ax-1}<0\ dfrac{2a^2+2ax-1-4a^2+a+1}{2a^2+2ax-1} <0\ 1-dfrac{4a^2-a-1}{2a^2+2ax-1} <0$

Рассмотрим функцию

$f(x)=1-dfrac{4a^2-a-1}{2a^2+2ax-1}$

Она имеет разрыв при

$2a^2+2ax-1=0 Rightarrow x=dfrac{1-2a^2}{2a}$

"Вытолкнем" разрыв за пределы отрезка [-2; 2]

$left[begin{array}{I} dfrac{1-2a^2}{2a}<-2 \ dfrac{1-2a^2}{2a}>2 end{array}} Leftrightarrow left[begin{array}{I} dfrac{2a^2-4a-1}{2a}>0 \ dfrac{2a^2+4a-1}{2a}<0 end{array}} Leftrightarrow left[begin{array}{I} a in left(dfrac{2- sqrt{6}}{2}; 0 right) cup left(dfrac{2+ sqrt{6}}{2}; + infty right) \ a in left(- infty; dfrac{-2-sqrt{6}}{2} right) cup left( 0; dfrac{-2+ sqrt{6}}{2} right) end{array}} $

$a in left(- infty; dfrac{-2-sqrt{6}}{2} right) cup left( dfrac{2- sqrt{6}}{2}; 0 right) cup left( 0; dfrac{-2+ sqrt{6}}{2} right) cup left(dfrac{2+sqrt{6}}{2}; + infty right)$

получили ограничения по a.

Вернемся к функции. Заметим, что она монотонна ⇒ если f(-2)<0 и f(2)<0, то при любом x из отрезка [-2; 2] функция принимает отрицательные значения.

$left{begin{array}{I} dfrac{-2a^2-3a}{2a^2-4a-1}<0 \ dfrac{-2a^2+5a}{2a^2+4a-1}<0 end{array}} Leftrightarrow left{begin{array}{I} dfrac{a(2a+3)}{2a^2-4a-1}>0 \ dfrac{a(2a-5)}{2a^2+4a-1}>0 end{array}} Leftrightarrow $

$Leftrightarrow left{begin{array}{I} a in (- infty; -1,5) cup left( dfrac{2- sqrt{6}}{2}; 0 right) cup left(dfrac{2+ sqrt{6}}{2}; + infty right) \ a in left(- infty; dfrac{-2-sqrt{6}}{2} right) cup left(0; dfrac{-2+ sqrt{6}}{2} right) cup (2,5; + infty) end{array}} $