Ответы
Обращение пропорции. Если {displaystyle {frac {a}{b}}={frac {c}{d}}} {frac ab}={frac cd}, то {displaystyle {frac {b}{a}}={frac {d}{c}}} {frac ba}={frac dc}
Перемножение крайних членов пропорции со средними (крест-накрест). Если {displaystyle {frac {a}{b}}={frac {c}{d}}} {frac ab}={frac cd}, то {displaystyle ad=bc} ad=bc
Перестановка средних и крайних членов. Если {displaystyle {frac {a}{b}}={frac {c}{d}}} {frac ab}={frac cd}, то
{displaystyle {frac {a}{c}}={frac {b}{d}}} {frac ac}={frac bd} (перестановка средних членов пропорции),
{displaystyle {frac {d}{b}}={frac {c}{a}}} {frac db}={frac ca} (перестановка крайних членов пропорции).
Увеличение и уменьшение пропорции. Если {displaystyle {frac {a}{b}}={frac {c}{d}}} {frac ab}={frac cd}, то
{displaystyle {dfrac {a+b}{b}}={dfrac {c+d}{d}}} {dfrac {a+b}{b}}={dfrac {c+d}{d}} (увеличение пропорции),
{displaystyle {dfrac {a-b}{b}}={dfrac {c-d}{d}}} {dfrac {a-b}{b}}={dfrac {c-d}{d}} (уменьшение пропорции).
Составление пропорции сложением и вычитанием. Если {displaystyle {frac {a}{b}}={frac {c}{d}}} {frac ab}={frac cd}, то
{displaystyle {dfrac {a+c}{b+d}}={frac {a}{b}}={frac {c}{d}}} {dfrac {a+c}{b+d}}={frac ab}={frac cd} (составление пропорции сложением),
{displaystyle {dfrac {a-c}{b-d}}={frac {a}{b}}={frac {c}{d}}} {dfrac {a-c}{b-d}}={frac ab}={frac cd} (составление пропорции вычитанием).
История
Первое известное определение равных пропорций было дано как равенство последовательных вычитаний[1], современным языком это можно выразить как равенство цепных дробей для отношений величин.[2] Позже Евдокс упростил определение, равенство пропорций {displaystyle a:b=c:d} {displaystyle a:b=c:d} им определялось как одновременное выполнение одной из трёх пар соотношений
{displaystyle mcdot a>ncdot b} {displaystyle mcdot a>ncdot b} и {displaystyle mcdot c>ncdot d} {displaystyle mcdot c>ncdot d},
{displaystyle mcdot a=ncdot b} {displaystyle mcdot a=ncdot b} и {displaystyle mcdot c=ncdot d} {displaystyle mcdot c=ncdot d},
{displaystyle mcdot a<ncdot b} {displaystyle mcdot a<ncdot b} и {displaystyle mcdot c<ncdot d} {displaystyle mcdot c<ncdot d}
для любой пары натуральных чисел {displaystyle m} m и {displaystyle n} n. Это определение даётся в «Началах» Евклида.
С появлением вещественных чисел отпала необходимость в специальной теории пропорций, древние математики не рассматривали пропорции длины как числа. Определение Евдокса, в несколько более абстрактном виде использовалось далее при определении вещественных чисел данное Дедекиндом через сечения.
Связанные определения
Арифметическая пропорция
См. также: Среднее арифметическое
Равенство двух разностей {displaystyle a-b=c-d} a-b=c-d иногда называют арифметической пропорцией[3].
Гармоническая пропорция
Основная статья: Золотое сечение
Если у геометрической пропорции средние члены равны, а последний является разницей между первым и средним, такая пропорция называется гармонической: {displaystyle a:b=b:(a-b)} a:b=b:(a-b). В этом случае, разложение {displaystyle a} a на сумму двух слагаемых {displaystyle b} b и {displaystyle a-b} a-b называется гармоническим делением или золотым сечением[4].
Задачи на тройное правило
В содержание задачи на простое тройное правило входят две величины, связанные пропорциональной зависимостью, при этом даются два значения одной величины и одно из соответствующих значений другой величины, требуется же найти её второе значение.
Задачами на сложное тройное правило называют задачи, в которых по ряду нескольких (более двух) пропорциональных величин требуется найти значение одной из них, соответствующее другому ряду данных значений величин[5][6].