Ставится ли после слова "что" запятая? И почему?
Подводя итог, хочу сказать, что, люди, у которых появилась заветная мечта, добьются ее исполнения любым способом, несмотря на все преграды и трудности, которые встанут на их пути. 

Нет, не ставим.

запятая после -что?- придаточное определительное в придаточном дополнительном

Подводя итог-вводная конструкция, [хочу сказать], -что?- (что люди), -люди какие?- (у которых появилась заветная мечта) придаточное определительное, (добьются ее исполнения любым способом), -несмотря на что?- (несмотря на все преграды и трудности) придаточное уступки ,  -трудности какие?- (которые встанут на их пути) придаточное определительное.