Предмет: Математика
Автор: anatolj2003
Вопрос задан 7 лет назад

< >

Решите пожалуйста логарифмы и объясните как решали

Приложения:

Ответы

Ответ дал: coolpandaRF

0

Обязательная часть.

Номер 1.

а) $log_{2}(x-2)+log_{2}(x-3)=0$

Найдем ОДЗ (область допустимых значений)

$left { {{x-2>0} atop {x-3>0}} right.$

$xin(3,+infty)$

Используя $log_{a}x+log_{a}y=log_{a}(xtimes y)$

$log_{2}((x-2)times(x-3))=0$

$log_{2}(x^{2}-5x+6)=0$

Единственный случай, при котором логарифм может быть равен нулю, когда аргумент равен 1

$x^{2}-5x+6=1$

$x^{2}-5x+5=0$

Решаем квадратное уравнение

$D=(-5)^{2}-4times1times5=5$

$x_{1}=frac{5+sqrt{5}}{2}$

$x_{2}=frac{5-sqrt{5}}{2}$

Проверяем принадлежит ли решение ОДЗ

Ответ: $x=frac{5+sqrt{5}}{2}$

б) $log_{0.5}(2x-3)=-2$

Найдем ОДЗ (область допустимых значений)

$2x-3>0$

$x > 1.5$

Т.к. $log_{a}x=b$ равно $x=a^{b}$ , решаем

$2x-3=0.5^{-2}$

$2x-3=(frac{1}{2})^{-2}$

Используя $(frac{1}{a})^{-n}=a^{n}$

$2x-3=2^{2}$

$x=3.5$

Проверяем принадлежит ли решение ОДЗ

Ответ: $x=3.5$

Номер 2.

$log_{8}(4-2x)geq2$

Найдем ОДЗ (область допустимых значений)

$4-2x>0$

$x<2$

$log_{8}(2(2-x))geq2$ (Вынес общий множитель)

Используя $log_{a}(xtimes y)=log_{a}x+log_{a}y$

$log_{8}2+log_{8}(2-x)geq2$

$log_{2^{3}}2+log_{8}(2-x)geq2$ (Представил 8 как 2 в кубе)

Используя $log_{a^{y}}a=frac{1}{y}$

$frac{1}{3}+log_{8}(2-x)geq2$

$log_{8}(2-x)geqfrac{5}{3}$

Для a>1 выражение $log_{a}xgeq b$ равно $xgeq a^{b}$

$2-xgeq8^{frac{5}{3}}$

$2-xgeq(2^{3})^{frac{5}{3}}$

$2-xgeq2^{5}$

$2-xgeq32$

$-xgeq30$

$xleq-30$

Проверяем принадлежит ли решение ОДЗ

Ответ: $xin(-infty,-30]$

Дополнительная часть.

Номер 1.

$log_{3}x+log_{sqrt{x}}x-log_{frac{1}{3}}x=6$

Используя $sqrt{x}=x^{frac{1}{2}}$ и $frac{1}{x^{n}}=x^{-n}$

$log_{3}x+log_{x^{frac{1}{2}}}x-log_{3^{-1}}x=6$

Используя $log_{a^{y}}a=frac{1}{y}$

$log_{3}x+2-log_{3^{-1}}x=6$

Используя $log_{a^{y}}b=frac{1}{y}times log_{a}b$

$log_{3}x+2-(-log_{3}x)=6$

$log_{3}x+2+log_{3}x=6$

$2log_{3}x+2=6$

$2log_{3}x=4$

$log_{3}x=2$

Т.к. $log_{a}x=b$ равно $x=a^{b}$ , решаем

$x=3^{2}$

$x=9$

Ответ: $x=9$

Номер 2.

lg - это логарифм по основанию 10, т.е $log_{10}x$

$frac{lg10x}{lgx}geq2$

Найдем ОДЗ (область допустимых значений)

$left{begin{matrix}10x>0\x>0\log_{10}xneq0end{matrix}right.$

$xin(0,1)cup(1,+infty)$

Используя $log_{a}(xtimes y)=log_{a}x+log_{a}y$

$frac{lg10+lgx}{lgx}geq2$

Опираясь, на определение, описанное выше, логарифм с одинаковыми основанием и аргументов равен 1

$frac{1+lgx}{lgx}geq2$

Пусть $t=lgx$

$frac{1+t}{t}geq2$

$tin(0,1]$

$lgxin(0,1]$

Запишем интервал в виде системы

$left { {{lgx>0} atop {lgxleq1}} right.$

Для a > 1 выражение $log_{a}x>b$ равно $x>a^{b}$

Для a > 1 выражение $log_{a}xleq b$ равно $xleq a^{b}$

$left { {{x>1} atop {xleq10}} right.$

Проверяем принадлежит ли решение ОДЗ

Ответ: $xin(1,10]$

Похожие вопросы

Французский язык

2 года назад

Переведите диалог: La cliente : Est-ce que je peux essayer les sandales qui sont dans la vitrine ? La vendeuse : Oui, madame, quelle pointure faites-vous ? La cliente : Je fais du 38. La vendeuse

Русский язык

2 года назад

Составь текст из трёх распространённых предложений на одну букву.каждое слово во всех предложениях должна начинаться с буквы П.

Русский язык

2 года назад

Помогите пожалуйста, даю 35 баллов!!! Желательно на листочке, чтобы понять что делать

Литература

2 года назад

Напишіть проблеми кохання з висловами твору "Ромео і Джульєтта"

Математика

8 лет назад

Реши уравнения Х*52 = 624. 2576/х =46.

Алгебра

8 лет назад

решите срочно умоляю -2х^2+х+15<0

Математика

9 лет назад

18ц25кг=х кг помогите решить

Химия

9 лет назад

какую смесь можно разделить методом выпаривания?1)медные опилки и сера 2)воды и кухонной соли 3)кухонной солии меда 4)воды и спирта