Ответы
Все пары чисел-близнецов, кроме (3, 5), имеют вид {displaystyle 6npm 1,} 6npm 1, так как числа с другими вычетами по модулю 6 делятся на 2 или на 3. Если учитывать также делимость на 5, то окажется, что все пары близнецов, кроме первых двух, имеют вид {displaystyle 30npm 1} {displaystyle 30npm 1}, {displaystyle 30n+12pm 1} {displaystyle 30n+12pm 1} либо {displaystyle 30n+18pm 1} {displaystyle 30n+18pm 1}. Для любого целого {displaystyle mgeqslant 2} {displaystyle mgeqslant 2} пара {displaystyle (m,m+2)} {displaystyle (m,m+2)} является парой чисел-близнецов тогда и только тогда, если {displaystyle 4[(m-1)!+1]+m} {displaystyle 4[(m-1)!+1]+m} делится на {displaystyle m(m+2)} {displaystyle m(m+2)} (следствие теоремы Вильсона).
Первые числа-близнецы[1]:
(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)
Наибольшими известными простыми-близнецами являются числа {displaystyle 2996863034895cdot 2^{1290000}pm 1} {displaystyle 2996863034895cdot 2^{1290000}pm 1}[2]. Они были найдены в сентябре 2016 года в рамках проекта добровольных вычислений PrimeGrid[3][4].
Предполагается, что таких пар бесконечно много, но это не доказано. По первой гипотезе Харди — Литтлвуда (англ.), количество {displaystyle pi _{2}(x)} pi _{2}(x) пар простых-близнецов, не превосходящих x, асимптотически приближается к
{displaystyle pi _{2}(x)sim 2C_{2}int limits _{2}^{x}{frac {dt}{(ln t)^{2}}},} pi _{2}(x)sim 2C_{2}int limits _{2}^{x}{frac {dt}{(ln t)^{2}}},
где {displaystyle C_{2}} C_{2} — константа простых-близнецов:
{displaystyle C_{2}=prod _{pgeq 3}left(1-{frac {1}{(p-1)^{2}}}right)approx 0.6601618158468695739278121100145ldots } {displaystyle C_{2}=prod _{pgeq 3}left(1-{frac {1}{(p-1)^{2}}}right)approx 0.6601618158468695739278121100145ldots }[5]