Ответы
Поскольку, если , то подставляя в уравнение, получим
— неверно, значит имеем право разделить обе части уравнения на
, получим:
Решаем как квадратное уравнение относительно tgx, имеем
Задание 5.
Вычислим производную функции первого порядка и приравняем ее к нулю
По теореме Виета
____+___(1)__-_____(3)__+____
Функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞;1) и x ∈ (3;+∞), а убывает на промежутке x ∈ (1;3). В точке х = 1 производная функции меняет знак с (+) на (-), значит x = 1 - относительный максимум, а в точке х = 3 производная функции меняет с (-) на (+), следовательно, точка х = 3 - относительный минимум.
В точке х = 3 имеется минимум , а в точке x = 1 имеется максимум
6. Воспользуемся формулой производной частного
4. cos²x-4sinx*cosx+3sin²x=0. Разделим обе части неравенства на cos²x≠0, это сделать можно, поскольку sinx и cosx одновременно не нули вследствие основного тригонометрического тождества. Получим 3tg²x-4tgx+1=0; Пусть tgx=y, тогда 3у²-4у+1=0, у₁,₂=(2±√(4-3))/3=(2±1)/3; у₁=1; у₂=1/3, tgx=y, поэтому, если
tgx=1, то х=π/4+пn; n∈Z; если tgx=1/3, то х=arctg(1/3)+пm; m∈Z.
5.Найдем критические точки, для чего найдем производную и приравняем ее к нулю. х²-4х+3=0. По теореме, обратной теореме Виета, корни уравнения х₁=1, х₂=3, разобьем ими числовую ось на интервалы и с помощью метода интервалов найдем промежутки монотонности и экстремумы.
___1____3_____
+ - +
Функция возрастает при х ∈ (-∞;1] и х∈ [3+∞) и убывает при х∈[1;3],
точка х=1- точка максимума. значение функции в точке х=1 равно максимуму (1/3)*1³-2*1²+3*1+1=2 целых 1/3, минимум в точке минимума х=3, минимум равен (1/3)*3³-2*3²+3*3+1=1
6. Производная частного равна
(u/v)'=(u'v-uv')/v²⇒((6x²-4)/(5x+7))'=
((12х*(5х+7)-5*(6х²-4))/(5х+7)²=(60х²+84х-30х²+20)/(5х+7)²=
(30х²+84х+20)/(5х+7)²