Найдите наибольшее значение mn, если m>0 и n>0, а m+n=50

n=50-m.

Cоставим функцию  произведения  f(m;n)=m•n

f(m)=m•(50-m), f(m)=50m-m²; где m∈(0;50)

f'(m)=50-2m

находим критические точки

f'(m)=0  m=25 - при переходе через точку m=25 производная меняет знак с "+" на "-"

_______25_________

+                        -

Значит, m=25  точка максимума

n=50-m=50-52=25; f(25;25)=25•25=625

Ответ 625

По неравенству Коши

При этом равенство достигается наибольшего значения при m = n = 25

Ответ: mn = 625.