Предмет: Алгебра
Автор: Mr0leg
Вопрос задан 1 год назад

< >

Вычислить предел, №4

Приложения:

Ответы

Ответ дал: AnonimusPro

2

$\lim_{x \to 1} (\ln(e^x+x-1))^{\frac{1}{\sqrt[3]{x}-1} }$

представим $\ln(e^x+x-1)$ как:

$\ln(e^x+x-1)=\ln(e^x+x-1)-1+1=\ln(e^x+x-1)-ln(e)+1=\\=\ln(\frac{e^x+x-1}{e})+1$

получим:

$\lim_{x \to 1} (\ln(\frac{e^x+x-1}{e})+1)^{\frac{1}{\sqrt[3]{x}-1} }=\lim_{x \to 1} (1+\ln(\frac{e^x+x-1}{e}))^{\frac{1}{\sqrt[3]{x}-1} }=\\=\lim_{x \to 1} (1+\ln(\frac{e^x+x-1}{e}))^{\frac{1}{\ln(\frac{e^x+x-1}{e})}*\frac{1}{\sqrt[3]{x}-1} *\ln(\frac{e^x+x-1}{e})}=\\=\lim_{x \to 1} e^{\frac{1}{\sqrt[3]{x}-1} *\ln(\frac{e^x+x-1}{e})}=e^{\lim_{x \to 1} (\frac{1}{\sqrt[3]{x}-1} *\ln(\frac{e^x+x-1}{e}))}$

$\lim_{x \to 1}( \frac{1}{\sqrt[3]{x}-1} *\ln(\frac{e^x+x-1}{e}))=\lim_{x \to 1}\frac{\ln(e^x+x-1)-1}{\sqrt[3]{x}-1}$

применим правило Лопиталя:

$\lim_{x \to 1}\frac{(\ln(e^x+x-1)-1)'}{(\sqrt[3]{x}-1)'}=\lim_{x \to 1}\frac{\frac{1}{e^x+x-1}*(e^x+x-1)' }{(x^{\frac{1}{3}})'}=\lim_{x \to 1}\frac{\frac{e^x+1}{e^x+x-1} }{\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} } =\\=\frac{\frac{e^1+1}{e^1+1-1} }{\frac{1}{3} *1}=3*\frac{e+1}{e} =3(1+\frac{1}{e})=3+\frac{3}{e}$

получим:

$\lim_{x \to 1} e^{\frac{1}{\sqrt[3]{x}-1} *\ln(\frac{e^x+x-1}{e})}=e^{3+\frac{3}{e}}$

В итоге:

$\lim_{x \to 1} (\ln(e^x+x-1))^{\frac{1}{\sqrt[3]{x}-1} }=e^{3+\frac{3}{e}}$

Похожие вопросы

Алгебра

1 год назад

В арифметичній прогресії аз = -11, d = 7. Знайдіть a9.

Литература

1 год назад

Письмовий докладний переказ Відеопоезія - нове художнє явище Пожалуйста помогите срочно!

Математика

1 год назад

Один принтер друкує 45 сторінок за 1 хв, а дру- гий — 165 сторінок за 3 хв. За скільки хвилин обидва принтери надрукують 2000 сторінок?ПОМОГИТЕ СРОЧНО НАДО

История

1 год назад

ТЕСТ ПО ИСТОРИИ!!! ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕ!!! 1 Древний мир приходит на смену: А – Первобытному строю Б – Средним векам В – Новому времени 2 Первая в мире цивилизация: А – Государство Шумер Б –

Алгебра

2 года назад

решите задачи очень надо 1. Запишите (х – 3у)3 в виде произведения двух многочленов ненулевой степени. 2. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые: (х + 4)(х + 1)(х - 1) 3. С помощью

Алгебра

2 года назад

Обчисліть: 4 cos45° cos15°

Алгебра

8 лет назад

Выпишите номера верных утверждений. 1)Через любые две прямые проходит плоскость,и притом только одна. 2) Если три плоскости имеют единственную общую точку,то не существует прямой,параллельной всем

История

8 лет назад

Одежда, сделанная из шерсти, стала использоваться во времена: 1)Неолита 2)Мезолита 3)Палеолита Вроде как историю хорошо знаю,а вот это забыл XD