Предмет: Математика
Автор: StaVoz6699
Вопрос задан 1 год назад

< >

Решение пожалуйста, однородные дифференциальные уравнения

Приложения:

Ответы

Ответ дал: Аноним

0

Перепишем уравнение так: $4x+4u=y'(4x-y)$

Данное дифференциальное уравнение является однородным. Для него осуществляется замена $y=ux$ , тогда $y'=u'x+u$

$4x+4ux=(u'x+u)(4x-ux)\\ \\ x=0;~~~ 4+4u=(u'x+u)(4-u)\\ \\ 4+4u=4u'x+4u-u'ux-u^2\\ \\ u'x(4-u)=u^2+4$

Пришли к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными

$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{u^2+4}{x(4-u)}~~~~\Rightarrow~~~~\dfrac{(4-u)du}{u^2+4}=\dfrac{dx}{x}~~~\Rightarrow~~~ \displaystyle \int \dfrac{(4-u)du}{u^2+4}=\int \dfrac{dx}{x}\\\\ \\ \int \dfrac{4du}{u^2+4}-\dfrac{1}{2}\int \dfrac{d(u^2+4)}{u^2+4}=\int \dfrac{dx}{x}\\ \\ \\ 4\cdot \dfrac{1}{2}{\rm arctg}\, \dfrac{u}{2}-\dfrac{1}{2}\ln \big|u^2+4\big|=\ln |x|+C$

Выполнив обратную замену получим

$2{\rm arctg}\, \dfrac{y}{2x}-\dfrac{1}{2}\ln \bigg|\dfrac{y^2}{x^2}+4\bigg|=\ln |x|+C$ — общий интеграл

Похожие вопросы

Математика

1 год назад

ЗРОБІТЬ БУДЬ ЛАСКА ДУЖЕ СИЛЬНО ТРЕБА ХТО ЗРОБИТЬ ВСЕ ПРАВИЛЬНО ДАМ 40 БАЛІВ ДУЖЕ СИЛЬНО ТРЕБА

Математика

1 год назад

32 балла 5 класс Помогите пожалуйста. длинна прямоугольного пар-п равна 60 см, а высота составляет 3/4 от длины, а ширина больше высоты на 5 см. найдите объем! Прошу к нас к.р годовое.

Другие предметы

1 год назад

Міні- твір написати " Мій сьогоднішній день". Вживати тільки дієслова

Алгебра

1 год назад

Округлити число до десятих й одержаний результат записати в стандартному вигляді: 4911,287

Математика

2 года назад

(a+4)^2 срочно решите 16 баллов

Английский язык

2 года назад

Ex-1,3,please пожалуйста, умоляюю

Информатика

8 лет назад

Нужна помощь с задачей по информатике

Алгебра

8 лет назад

найдите значение выражения а)√36/361 , √48*√27 ,√98/√2 , √4,1^2-4^2.