Предмет: Математика
Автор: Katusha7842
Вопрос задан 1 год назад

< >

p- простое число меньшее 2018. Сумма всех возможных различных остатков от деления положительных целых степеней двойки на p равняется p. Найдите количество возможных различных значений p.

Ответы

Ответ дал: igorShap

0

Пусть $p=2^k-a, k\in N, a\in N, a<2^{k-1}$

Тогда $p>2^k-2^{k-1}=2^{k-1}$ . Значит остаток от деления $2^n$ на $p$ равен $2^n\; \forall n \leq k-1, n\in N$ . Тогда сумма всевозможных остатков будет не меньше $1 +...+2^{k-1}=\dfrac{1(2^{k-1-0+1}-1)}{2-1}=2^k-1$

Значит для выполнения условий задачи необходимо $2^k-a\geq 2^k-1=>a\leq 1\\ a\in N=>a=1$

$p=2^k-1$

Теперь рассмотрим, что будет происходить с остатками следующих степеней двойки.

$n=k:\:2^k=2^k-1+1=p+1=>$ остаток равен 1 - а значит новых остатков не получим. А значит все простые числа вида $2^k-1$ (числа Мерсена) удовлетворяют условию задачи.

Число Мерсена является простым, только если $k$ также простое.

$2048>2018>1024=2^{10}$

Тогда остается рассмотреть числа $2^2-1=3,\:2^3-1=7,\:2^5-1=31,\:2^7-1=127$ - все простые

Ответ: 4 числа.

igorShap: Факт про простые числа Мерсена можно доказать, рассмотрев все числа с k=ab, а затем разделив их на 2^k-1

igorShap: Опечатка, разделить надо на 2^a-1

Похожие вопросы

Другие предметы

1 год назад

Що відомо про дату народження героя з твору " Конрад , або Дитина з бляшанки" Крістіне Нестлінгер? 22.10.1967р. 23.11.1967р. 23. 10. 1968р. 23.10.1967р.

Физика

1 год назад

Допоможіть будь ласка, з дано теж ())) Напруга в електро мережі 3 кВ, сила струму, яку споживає двигун, — 2 кА.Визначте потужність двигуна.

Немецкий язык

1 год назад

Рассказ на 10 строк :моя любииая книжка (срочно дам 40 балов)

Алгебра

1 год назад

Даю 100 баллов! Мне нужно полное решение.

География

2 года назад

Закончи высказывание о Северном Ледовитом океане так, чтобы оно оказалось верным. Северный Ледовитый океан — это… океан, в котором часто происходят землетрясения и извержения вулканов океан, в

Английский язык

2 года назад

Where were you yesterday morning?

География

8 лет назад

при уменьшении масштаба карты , искажение увеличивается или уменьшается ????

Математика

8 лет назад

номер 5,3 вигура быстрей пж