• Предмет: Математика
  • Автор: LuckyST
  • Вопрос задан 4 года назад

(tga+√3)(tgb+√3)=4
вычислите 9*((a+b)/pi)^2

Ответы

Ответ дал: nikebod313
0

Дано: (text{tg}  alpha + sqrt{3})(text{tg}  beta + sqrt{3}) = 4,  alpha neq dfrac{pi}{2} + pi n,  n in Z;  beta neq dfrac{pi}{2} + pi n,  n in Z

Найти: 9 cdot left(dfrac{alpha + beta }{pi}  right)^{2}

Решение. Наименьшим положительным периодом функций text{tg}  alpha и text{tg}  beta является pi. Решим уравнение (text{tg}  alpha + sqrt{3})(text{tg}  beta + sqrt{3}) = 4 на отрезке длиной pi.

(text{tg}  alpha + sqrt{3})(text{tg}  beta + sqrt{3}) = 4

text{tg}  alpha  text{tg}  beta + sqrt{3}(text{tg}  alpha  + text{tg}  beta ) + 3 = 4

dfrac{sin alpha }{cos alpha } cdot dfrac{sin beta }{cos beta } + dfrac{sqrt{3}sin (alpha + beta )}{cos alpha cos beta }= 1

dfrac{sin alpha sin beta + sqrt{3}sin (alpha + beta )}{cosalpha cos beta } =1

sin alpha sin beta +sqrt{3}sin (alpha + beta ) - cos alpha cos beta = 0

cos (alpha + beta ) + sqrt{3}sin (alpha + beta ) = 0    | : 2

dfrac{1}{2} cos (alpha + beta ) + dfrac{sqrt{3}}{2} sin (alpha + beta ) = 0

sin dfrac{pi}{6}  cos (alpha + beta ) + cos dfrac{pi}{6}  sin (alpha + beta ) = 0

sin left(dfrac{pi}{6} + alpha + beta right) = 0

dfrac{pi}{6} + alpha  + beta = pi

alpha + beta = pi - dfrac{pi}{6} = dfrac{5pi}{6}

Таким образом, 9 cdot left(dfrac{alpha + beta }{pi} right)^{2} = 9 cdot left(dfrac{dfrac{5pi}{6} }{pi} right)^{2} = 9 cdot left(dfrac{5}{6} right)^{2} = 9 cdot dfrac{25}{36} = dfrac{25}{4} = 6,25

Ответ: 6,25.

Похожие вопросы