Найдите, при каких целых значениях переменной k числа 4k, 7k+1 ,k+15 будут последовательными членами геометрической прогрессии.

Ответы

Ответ дал: Хуqожнuк

Ответ: 1

Объяснение:

Члены геометрической последовательности связаны следующим соотношением:

$b_n=b_{n-1}cdot q$

Нам даны три последовательных члена, для определённости дадим им номера 1, 2, 3.

Выпишем взаимосвязь 1-ого и 2-ого и 2-ого и 3-его:

$b_2=b_{1}cdot q;quadquad 7k+1=4kcdot q\ \ b_3=b_{2}cdot q;quadquad k+15=(7k+1)cdot q$

Чтобы три числа были членами последовательности, должны выполнять оба равенства. Составим систему уравнений:

$left { {{7k+1=4kcdot q} atop {k+15=(7k+1)cdot q}} right.$

Поделим уравнения друг на друга (это действие можно выполнить, так как q ≠ 0, (7k + 1) ≠ 0, k + 15 ≠ 0):

$frac{7k+1}{k+15}=frac{4kq}{(7k+1)q}$

Сокращаем на q ≠ 0 и перемножаем дроби "крест-накрест" (знаменатели в ноль не обращаются, учтено выше).

$(7k+1)^2=4k(k+15)\ 49k^2+14k+1=4k^2+60k\ \ 45k^2-46k+1=0\ \ D=(-46)^2-4cdot45cdot 1=4cdot23^2-4cdot45=4(529-45)=4cdot484\ \ sqrt{D}=sqrt{4cdot484}=sqrt{2^2cdot22^2}=2cdot22=44\ \ k_1=frac{46-44}{90}=frac{2}{90}=frac{1}{45} \ \ k_2=frac{46+44}{90}=frac{90}{90}=1$