может ли плоскость проходящая через середины сторон треугольника пересекать его третью сторону?

нет не может) прямая пересечения треугольника и этой плоскости является средней линией, а она паралельна 3 стороне))) и нам известно, что паралеьные прямая и плоскость не пересекаются!!!

В принципе может, если этот треугольник принадлежит этой плоскости.

Конечно, скорее всего имелось в виду решение предложенное тов. MeTHoD, но

нигде в условии задачи я не вижу информации что треугольник не может принадлежать данной плоскости.