Предмет: Математика
Автор: igorShap
Вопрос задан 7 лет назад

Решить уравнение в $R$ :
$4xsqrt{2x-x^2}=2x-1$

Ответы

Ответ дал: aastap7775

$4xsqrt{2x-x^2} = 2x-1 => sqrt{2x-x^2} = frac{2(x-frac{1}{2})}{4x} => frac{2(x-frac{1}{2})}{4x} geq 0 => x = (-infty; 0)[frac{1}{2}; +infty)\(4xsqrt{2x-x^2})^2 = (2x-1)^2\16x^2(2x-x^2) = 4x^2-4x+1;\32x^3-16x^4 = 4x^2-4x+1\16x^4-32x^3+4x^2-4x+1=0\(2x)^4 - 4(2x)^3 + (2x)^2 - 2(2x) + 1 = 0\2x = t\t^4 - 4t^3 + t^2 - 2t + 1 = 0\t^4 - 4t^3 + 6t^2 - 4t + 1 - 6t^2 + 4t - 1 + t^2 - 2t + 1 = 0\(t-1)^4 - 5t^2+2t = 0\t-1 = y => t = y+1;\y^4 - 5(y+1)^2 + 2(y+1) = 0\$

$y^4 - 5y^2 - 10y - 5+2y + 2 = 0\y^4 - 5y^2 - 8y - 3 = 0\y^4 - 2* frac{5}{2} y^2 + (frac{5}{2} )^2 - (frac{5}{2} )^2 - 8y - 3 = 0\(y^2 - frac{5}{2} )^2 = 8y + 3 + frac{25}{4} = 8y + frac{37}{4}\ (y^2 - frac{5}{2} + a)^2 = 8y + frac{37}{4} + 2a(y^2 - frac{5}{2}) + a^2\ (y^2 - frac{5}{2} + a)^2 = 2a*y^2 + 8y + a^2 - 5a + frac{37}{4}\ f(y) = 2a*y^2 + 8y + a^2 - 5a + frac{37}{4} = 2a(y-y_0)^2\y_0 = -frac{8}{4a} = -frac{2}{a};\ f(y) = 2a(y-y_0)^2 = 2a(y+frac{2}{a})^2$

Последние три равенства имеют место быть тогда, когда дискриминант f(y) равен нулю. Найдем такое a, при котором это имеет место:

$frac{D}{4} = 4^2-2a(a^2 - 5a + frac{37}{4}) = 0\ 4^2-2a(a^2 - 5a + frac{37}{4}) = 16 - 2a^3 + 10a^2 - frac{37}{2}a = 0\2a^3 - 10a^2 + frac{37}{2}a - 16 = 0 | *4\ (2a)^3 - 10(2a)^2 + 37*(2a) - 64 = 0\2a = k => a = frac{k}{2}\ k^3 - 10k^2 + 37k - 64 = 0|*27\(3k)^3 - 30(3k)^2 + 333(3k)-1728=0\3k = m => k = frac{m}{3} => a = frac{m}{6}\ m^3 - 30m^2 + 333m - 1728 = 0\m^3 - 3*10m^2 + 3*100m - 1000 - 300m + 1000 + 333m - 1728 = 0\(m-10)^3 + 33m - 728 = 0\$

$m-10 = u => m = u+10 => a = frac{u+10}{6}\ u^3 + 33(u+10) - 728 = 0\u^3 + 33u + 330 - 728 = 0\u^3 + 33u - 398 = 0\u = sqrt[3]{-frac{q}{2}+ sqrt{Q}} + sqrt[3]{-frac{q}{2}-sqrt{Q}}\ Q = (frac{q}{2})^2 + (frac{p}{3})^3\ q = -398, p = 33\Q = 199^2 + 11^3 = 40932 = (6sqrt{1137})^2\u = sqrt[3]{199 + 6sqrt{1137}} + sqrt[3]{199-6sqrt{1137}} => a = frac{sqrt[3]{199 + 6sqrt{1137}} + sqrt[3]{199-6sqrt{1137}}+10}{6}\$

На этом этапе можно вернуться к исходной функции f(y):

$f(y) = 2a(y+frac{2}{a})^2 = frac{1}{3}(sqrt[3]{199+6sqrt{1137}} + sqrt[3]{199-6sqrt{1137}}+10)(y+frac{12}{sqrt[3]{199+6sqrt{1137}} +sqrt[3]{199-6sqrt{1137}}+10}^2$ $(y^2 - frac{5}{2} + frac{sqrt[3]{199+6sqrt{1137} } +sqrt[3]{199-6sqrt{1137} } +10}{6})^2 = frac{1}{3}(sqrt[3]{199+6sqrt{1137}} + sqrt[3]{199-6sqrt{1137}}+10)(y+frac{12}{sqrt[3]{199+6sqrt{1137}} +sqrt[3]{199-6sqrt{1137}}+10})^2$

Эти громоздкие числа я заменю на приближенное значение, но вы можете посчитать точно)

$sqrt[3]{199+6sqrt{1137}} + sqrt[3]{199-6sqrt{1137}}+10 = 15.885...\$

Тогда уравнение примет вид:

$frac{1}{3}*15.885...(y + frac{12}{15.885...})^2 = (y^2 - 2.5 + 2.6475...)^2\ 5.295...(y+0.75543...)^2 = (y^2 -0.1475...)^2\(y^2 -0.1475...)^2 - 5.295...(y+0.75543...)^2 = 0\(y^2 - 0.1475... - sqrt{5.295...}y - 4...)(y^2 - 0.1475... + sqrt{5.295...}y +4...)=0\(y^2 - 2.3...y - 4.1475...)(y^2 + 2.3...y + 3.8525...)=0\$

Второй множитель, очевидно, корней не имеет, ибо дискриминант отрицателен. Значит, решаем только первый множитель:

$y^2 - 2.3...y - 4.1475... = 0\D = 2.3...^2 + 4* 4.1475... = 5.295...+16.59...=21.885... = (4.678...)^2\y_1 = frac{2.3...+4.678...}{2} = 3.489...\ y_2 = frac{2.3...-4.678...}{2} = -1.189...\x = frac{y+1}{2}\x_1 = frac{3.489...+1}{2} = 2.2445...\ x_2 = frac{-1.189...+1}{2} = -0.0945\ 0 < x_2 < frac{1}{2} \Answer: 2.2445...$