Предмет: Математика
Автор: error674
Вопрос задан 1 год назад

< >

x(x-1)y'+2xy=1 pleaseeeeee

Ответы

Ответ дал: nikebod313

1

$x(x - 1)y' + 2xy = 1$

Разделим обе части уравнения на $x(x - 1) \neq 0$

$y' + \dfrac{2}{x - 1}y = \dfrac{1}{x(x - 1)}$

Имеем линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Воспользуемся методом Бернулли: $y = uv; \ y' = u'v+uv'$ , где $u = u(x), \ v = v(x)$

Имеем:

$u'v + uv' + \dfrac{2}{x - 1}uv = \dfrac{1}{x(x - 1)}$

$u'v + u\left(v' + \dfrac{2}{x - 1}v\right) = \dfrac{1}{x(x - 1)}$

Пусть $v' + \dfrac{2}{x - 1}v = 0$ . Тогда $u'v = \dfrac{1}{x(x-1)}$

Решим первое дифференциальное уравнение:

$v' + \dfrac{2}{x - 1}v = 0$

$\dfrac{dv}{dx} =- \dfrac{2}{x - 1}v$

$\dfrac{dv}{v} = -\dfrac{2}{x-1}dx$

$\displaystyle \int\dfrac{dv}{v} = -\int \dfrac{2}{x-1}dx$

$\ln|v| = - 2\ln |x - 1|$

$\ln|v| = \ln \dfrac{1}{(x-1)^{2}}$

$v = \dfrac{1}{(x - 1)^{2}}$

Решим второе дифференциальное уравнение:

$u'v = \dfrac{1}{x(x-1)}$

$\dfrac{du}{dx} \cdot \dfrac{1}{(x - 1)^{2}}= \dfrac{1}{x(x-1)}$

$du = \dfrac{x-1}{x} dx$

$du =\left(1 - \dfrac{1}{x}\right) dx$

$\displaystyle \int du = \int \left(1 - \dfrac{1}{x}\right) dx$

$u = x - \ln|x| + C$

Обратная замена:

$y = uv = (x - \ln|x| + C) \cdot \dfrac{1}{(x - 1)^{2}} = \dfrac{x - \ln |x| + C}{(x-1)^{2}}$

Ответ: $y = \dfrac{x - \ln |x| + C}{(x-1)^{2}}$

Похожие вопросы

География

1 год назад

Факти про Закарпаття

История

1 год назад

ПОМОГИТЕЕЕ ПОЖАЛУЙСТА ДАЮ 100 БАЛЛОВ !!!!!!!!!!!!!!

Алгебра

1 год назад

5.20 найдите корни уравнений 3 и 4 пжжж

География

1 год назад

Визначте висоту гори якщо на підніжжі + 26 а на вершині +2

Другие предметы

2 года назад

Извините за вопрос не по теме: можно ли набрать мышечную массу в 12 мальчик? Очень хочу стать крупным, так как я худой, но, можно ли? Именно МЫШЕЧНУЮ МАССУ не ЛИШНИЙ ВЕС

Английский язык

2 года назад

Вставьте нужный артикль Exercise IV 1.. Paris is ... capital of ... France. 2: ... Riga is not far from ... Baltic Sea. 3. ... Caucasus Mountains lie between ... Black Sea and ... Caspian Sea. 4. ...

Математика

8 лет назад

Решить тестовые задания. (С ОБЪЯСНЕНИЕМ!!!) 1. Вычислите длину окружности, радиус которой равен 7 см. а) 14 см б) 21,98 см в) 43,96 см г) 439,6 см 2. Бросают игральный кубик. Вычислите

Геометрия

8 лет назад

стороны параллелограмма равны 6 и 10 см., а угол между гими равен 150°. Гайдите площадь параллелограмма.