Предмет: Математика
Автор: vanon2000
Вопрос задан 1 год назад

< >

Решить систему дифференциальных уравнений:
x'=5x+8y
y'=3x+3y

Ответы

Ответ дал: Artem112

5

$\begin{cases} x'=5x+8y \\ y'=3x+3y \end{cases}$

Продифференцируем первое уравнение:

$x''=5x'+8y'$

Подставим в него выражение для $y'$ :

$x''=5x'+8(3x+3y)$

$x''=5x'+24x+24y$

Составим систему из умноженного на 3 первого уравнения исходной системы и только что полученного уравнения:

$\begin{cases} 3x'=15x+24y \\ x''=5x'+24x+24y \end{cases}$

От второго уравнения отнимем первое:

$x''-3x'=5x'+24x-15x$

$x''-8x'-9x=0$

Составим характеристическое уравнение:

$\lambda^2-8\lambda-9=0$

$(\lambda+1)(\lambda-9)=0$

$\lambda_1=-1;\ \lambda_2=9$

Решение для $x$ :

$x=C_1e^{-t}+C_2e^{9t}$

Из первого уравнения системы выразим $y$ :

$y=\dfrac{x'-5x}{8}$

Найдем $x'$ :

$x'=-C_1e^{-t}+9C_2e^{9t}$

Решение для $y$ :

$y=\dfrac{-C_1e^{-t}+9C_2e^{9t}-5(C_1e^{-t}+C_2e^{9t})}{8}$

$y=\dfrac{-C_1e^{-t}+9C_2e^{9t}-5C_1e^{-t}-5C_2e^{9t}}{8}$

$y=\dfrac{-6C_1e^{-t}+4C_2e^{9t}}{8}$

$y=-\dfrac{3}{4} C_1e^{-t}+\dfrac{1}{2} C_2e^{9t}$

Ответ: $\begin{cases} x=C_1e^{-t}+C_2e^{9t} \\ y=-\dfrac{3}{4} C_1e^{-t}+\dfrac{1}{2} C_2e^{9t}\end{cases}$

Похожие вопросы

Информатика

1 год назад

помогите пожалуйста пайтон 3.11.2

История

1 год назад

чому почалась війна у В'єтнамі

Қазақ тiлi

1 год назад

Кез келген аныз жазу

История

1 год назад

Даю 50б! Задание №1. Укажите термин. 5 баллов. 1) Государство, потерявшее независимость- 2) Государство, владеющее колонией- 3) Вид налога, который обязана платить каждая семья- 4) Должность

Астрономия

2 года назад

СРОЧНО ! Дам 45 баллов Произведите настройку звездной карты на дату 1 сентября 2020 г. и время – 24 ч.; выделите несколько видимых созвездий в южной, западной, северной и восточной стороне над

Алгебра

2 года назад

без решения,заранее спасибо

Математика

8 лет назад

вычисли объём прямоугольника параллелепипеда если его длина равна 15см ширина в 2раза больше а высота в6 раз менше ширине

Алгебра

8 лет назад

X^2(это типо икс квадрат)+X-4 Решите пж