При каких натуральных значениях n многочлен 1+x^2+x^4+...+x^2n разделится на многочлен 1+x+x^2+...+x^n

Ответы

Ответ дал: chech

При делении получится некоторый многочлен степени n:

$frac{1+x^2+x^4+...+x^{2n}}{1+x+x^2+...+x^n}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$

Избавимся от знаменателя:

$(1+x^2+x^4+...+x^{2n})=(1+x+x^2+...+x^n)(a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n)$

Раскроем скобки в правой части:

$a_0(1 x x^2 ... x^n) a_1x(1 x x^2 ... x^n) a_2x^2(1 x x^2 ... x^n) ... a_nx^n(1 x x^2 ... x^n)</var>=$ <img src=[/tex]a_0+(a_0+a_1)x+(a_0+a_1+a_2)x^2+...+(a_0+a_1+a_2+...+a_n)x^n+(a_1+a_2+...+a_n)x^{n+1}+(a_2+...+a_n)x^{n+2}+...+a_nx^{2n}" title="a_0(1+x+x^2+...+x^n)+a_1x(1+x+x^2+...+x^n)+ a_2x^2(1+x+x^2+...+x^n)+...+ a_nx^n(1+x+x^2+...+x^n)=" title="a_0+(a_0+a_1)x+(a_0+a_1+a_2)x^2+...+(a_0+a_1+a_2+...+a_n)x^n+(a_1+a_2+...+a_n)x^{n+1}+(a_2+...+a_n)x^{n+2}+...+a_nx^{2n}" title="a_0(1+x+x^2+...+x^n)+a_1x(1+x+x^2+...+x^n)+ a_2x^2(1+x+x^2+...+x^n)+...+ a_nx^n(1+x+x^2+...+x^n)=" alt="a_0+(a_0+a_1)x+(a_0+a_1+a_2)x^2+...+(a_0+a_1+a_2+...+a_n)x^n+(a_1+a_2+...+a_n)x^{n+1}+(a_2+...+a_n)x^{n+2}+...+a_nx^{2n}" title="a_0(1+x+x^2+...+x^n)+a_1x(1+x+x^2+...+x^n)+ a_2x^2(1+x+x^2+...+x^n)+...+ a_nx^n(1+x+x^2+...+x^n)=" />

$a_0(1+x+x^2+...+x^n)+a_1x(1+x+x^2+...+x^n)+ a_2x^2(1+x+x^2+...+x^n)+...+ a_nx^n(1+x+x^2+...+x^n)</var>=$

$<var>a_0+(a_0+a_1)x+(a_0+a_1+a_2)x^2+...+(a_0+a_1+a_2+...+a_n)x^n+(a_1+a_2+...+a_n)x^{n+1}+(a_2+...+a_n)x^{n+2}+...+a_nx^{2n}" /></var> Коэффициенты при нечётных степенях должны быть равны нулю, а коэффициенты при чётных степенях должны быть равны 1: <var>a_0=1</var> <var>a_0+a_1=0</var><var></var> <var>a_0+a_1+a_2=1</var> ... [tex]a_0+a_1+a_2+...+a_n=1$ , при чётном n

$a_0+a_1+a_2+...+a_n=0$ , при нечётном n

...

a_n=1

Отсюда получаем, что $a_1=-1$ , $a_2=1$ , $a_3=-1$ , $a_4=1$ , и так далее, коэффициенты с нечётными индексами равны -1, а коэффициенты с чётными индексами равны 1.