доказать равенство прямоугольных треугольников по катету и высоте, опушенную на гипотенузу;

Построить острый угол. 
Потом по ширине, равной высоте, провести от одной стороны угла полосу, 
Вторая сторона угла пересечется с полосой в вершине прямого угла.Получили первый катет. 
Из вершины прямого угла строим второй катет. 
Такой треугольник единствен. Значит данное условие может считаться признаком равенства.