Решите уравнение
$4sinx + cosx = 4$

Ответы

Ответ дал: Artem112

$4\sin x + \cos x = 4$

Универсальная тригонометрическая подстановка:

$\sin x=\dfrac{2\mathrm{tg}\frac{x}{2} }{1+\mathrm{tg}^2\frac{x}{2} }$

$\cos x = \dfrac{1-\mathrm{tg}^2\frac{x}{2} }{1+\mathrm{tg}^2\frac{x}{2} }$

Получаем уравнение:

$\dfrac{4\cdot2\mathrm{tg}\frac{x}{2} }{1+\mathrm{tg}^2\frac{x}{2} } +\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\frac{x}{2} }{1+\mathrm{tg}^2\frac{x}{2} } = \dfrac{4(1+\mathrm{tg}^2\frac{x}{2} )}{1+\mathrm{tg}^2\frac{x}{2} }$

$8\mathrm{tg}\frac{x}{2}+1-\mathrm{tg}^2\frac{x}{2} =4+4\mathrm{tg}^2\frac{x}{2}$

$5\mathrm{tg}^2\frac{x}{2} -8\mathrm{tg}\frac{x}{2}+3=0$

Сумма коэффициентов уравнения равна 1, значит его корни 1 и 3/5.

$\left[\begin{array}{l} \mathrm{tg}\dfrac{x}{2}=1 \\ \mathrm{tg}\dfrac{x}{2}=\dfrac{3}{5} \end{array}$

$\left[\begin{array}{l} \dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{4}+\pi n \\ \dfrac{x}{2}=\mathrm{arctg}\dfrac{3}{5} +\pi n\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n \\ x=2\mathrm{arctg}\dfrac{3}{5} +2\pi n\end{array},\ n\in\mathbb{Z}$

Ответ: $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n;\ x=2\mathrm{arctg}\dfrac{3}{5} +2\pi n\end{array},\ n\in\mathbb{Z}$

Похожие вопросы

Биология

1 год назад

У фигурной тыквы белая окраска плодов доминирует над желтой, диковидная форма - над шаравидной. Как будут выглядеть гибриды от скрещивания гомозиготный жёлтой шаравидной тыквыи белой дисковидной (

Алгебра

1 год назад

помогите .. Плиззз...

Русский язык

2 года назад

рашифруй скороговорку двеосывзвешиваютдвекаплиросы

Русский язык

2 года назад

небольшое сочинение Мой город с высоты птичьего полета

Математика

7 лет назад

Помогите пожалуйста Больше меньше или равно 3 м кв - 30 дм кв 5 га -200 а 400 мм кв - 4 дм кв

Литература

7 лет назад

Помогите пожалуйста!!! К. Паустовский"Стальное колечко" Разделить текст на части .Озаглавить каждую часть.

Литература

8 лет назад

примеры сравнения из поэмы мцыри

Обществознание

8 лет назад

Можно ли в работе видеть смысл жизни 10 примеров