• Предмет: Математика
  • Автор: TyronKon
  • Вопрос задан 2 года назад
< >

Дифференциальное уравнение. Помогите, пожалуйста (3x-4y)*y` = 4x+3y


,(3x-4y)y'= 4x+3y

Ответы

Ответ дал: nikebod313
1

(3x - 4y)y' = 4x + 3y

y' = \dfrac{4x + 3y}{3x - 4y}

Пусть f(x,y) = \dfrac{4x + 3y}{3x - 4y}

Тогда f(\lambda x,\lambda y) = \dfrac{4\lambda x + 3\lambda y}{3\lambda x - 4\lambda y} = \dfrac{4x + 3y}{3x - 4y} = f(x,y)

Имеем дифференциальное уравнение, однородное относительно переменных.

Подстановка: y = ux, \ y' = u'x + u, где u = u(x)

Тогда исходное уравнение примет вид:

u'x + u = \dfrac{4x + 3ux}{3x - 4ux}

x \cdot \dfrac{du}{dx} = \dfrac{4 + 3u}{3 - 4u} - u

x \cdot \dfrac{du}{dx} = \dfrac{4 + 4u^{2}}{3 - 4u}

\dfrac{3 - 4u}{4 + 4u^{2}}du = \dfrac{dx}{x}

\displaystyle \int \dfrac{3 - 4u}{4 + 4u^{2}}du = \int \dfrac{dx}{x}

1) \ \displaystyle \int \dfrac{3 - 4u}{4 + 4u^{2}}du = \dfrac{3}{4} \int \dfrac{du}{1 + u^{2}} - \dfrac{1}{2} \int \dfrac{2u}{1 + u^{2}}d(1 +u^2) = \\= \dfrac{3}{4}\, \text{arctg}\, u - \dfrac{1}{2} \ln |1 + u^{2}| + C

2) \displaystyle \int \dfrac{dx}{x} = \ln |x| + C

\dfrac{3}{4}\, \text{arctg}\, u - \dfrac{1}{2} \ln |1 + u^{2}| + C_{1} = \ln |x| + C_{2}

\dfrac{3}{4}\, \text{arctg}\, u - \dfrac{1}{2} \ln |1 + u^{2}| - \ln |x| = C

Обратная подстановка:

\dfrac{3}{4}\, \text{arctg}\, \dfrac{y}{x} - \dfrac{1}{2} \ln \left|1 + \dfrac{y^{2}}{x^{2}} \right| - \ln |x| = C — общий интеграл

Ответ: \dfrac{3}{4}\, \text{arctg}\, \dfrac{y}{x} - \dfrac{1}{2} \ln \left|1 + \dfrac{y^{2}}{x^{2}} \right| - \ln |x| = C

TyronKon: Спасибо большое за труд и подробное решение
nikebod313: Пожалуйста! Обращайтесь.
Похожие вопросы
История
1 год назад
традиционная мебель казахов​
Математика
1 год назад
Высота равна 90° же только в равнобедренных треугольников?
Английский язык
2 года назад
pete thinks a little and then asks перевод
Русский язык
2 года назад
невзгод, какая часть речи
Геометрия
7 лет назад
Сторони АС і ВС трикутника АВС дорівнюють 8см і 5см відповідно,а кут САВ становить 30°.Визначте проекції сторін АС і ВС на сторону АВ
Алгебра
7 лет назад
Срочно!!! Помогите решить тест пожалуйста!
Математика
8 лет назад
срочно срочно срочно срочно срочно срочно срочно срочно срочно
История
8 лет назад
кто и почему сочувствовал протестантизму во во франции кто выступал за католиков