Предмет: Алгебра
Автор: elizaveta34537
Вопрос задан 2 года назад

< >

Решите уравнение: $cos(x)-sin(x)cos(4x)=\sqrt{2}$

Ответы

Ответ дал: Guerrino

0

Заметим, что $\sin x\neq 0$ (при этих $x$ левая сторона не равна правой).

Теперь рассмотрим два случая:

1) $\sin x>0$ . Из этого следует, что $\sin x(1+\cos4x)\geq 0 \Leftrightarrow \sin x\geq -\sin x \cos4x \Leftrightarrow \cos x+\sin x\geq \cos x-\sin x\cos4x$ . Обратим внимание на последнюю часть неравенства: $\sqrt{2}\cos(x-\pi/4)=\cos x+\sin x\geq \cos x-\sin x\cos4x=\sqrt{2}$ , откуда $\sqrt{2}\cos(x-\pi/4)\geq \sqrt{2} \Leftrightarrow \cos(x-\pi/4)\geq 1$ , что верно только при $x=\frac{\pi}{4}+2\pi z$ , синус при этих значениях положителен.

2) $\sin x<0$ . Поступаем аналогично: $\sin x(-1+\cos4x)\geq 0 \Leftrightarrow -\sin x+\sin x \cos4x\geq 0\Leftrightarrow \cos x-\sin x\geq \cos x-\sin x\cos4x$

откуда $\sqrt{2}\cos(x+\pi/4)=\cos x-\sin x\geq \cos x-\sin x\cos4x=\sqrt{2}$ , наконец, $\cos(x+\pi/4)=1$ , получаем $x=\frac{7\pi}{4}+2\pi n$ .

Ответ: $\pi/4+2\pi z,\; 7\pi/4+2\pi n$

Похожие вопросы

Русский язык

1 год назад

Написать сочинение среднего размера (1,5 страницы). Тема: чудный собор Рождества Пресвятой Богородицы в Ростове-на-Дону. Описать собор, можно использовать слова типа "сияет, горит (цветом), краснеет,

Литература

1 год назад

что сказал Пузатый Пацюк Вакуле

Русский язык

2 года назад

63 помогите выписать фразеологизмы

Русский язык

2 года назад

.медведь на зиму запасает? Землянику, малину, орехи....

Физика

7 лет назад

Помогите с лабораторной! Показания: h=40см P=2,2Н S=60 см F=1,8Н

Обществознание

7 лет назад

Объясните утверждение: искусство и наука преобразуют как окружающую среду, так и самого человека

Математика

8 лет назад

записать частное a^13:a^8 в виде степени

Математика

8 лет назад

грибники нашли 12 боровиков, а подосиновиков на 5 меньше. сколько всего грибов нашли грибники?