• Предмет: Геометрия
  • Автор: melisaoz
  • Вопрос задан 1 год назад

Дан правильный многоугольник и длина радиуса R окружности, описанной около многоугольника. Определи площадь многоугольника, если: - у многоугольника 8 сторон и R= 4 см (если корня в ответе нет, под знаком корня пиши 1). S= ⋅ −−−−−√ см2; - у многоугольника 9 сторон и R= 4 см (ответ округли до целых). S= см2.

Приложения:

WhatYouNeed: 1) 32√2 см²
2) 46 см²

Ответы

Ответ дал: Alyssa08
37

Ответ:

1) 32\sqrt{2} см²; 2) 46 см².

Объяснение:

1) у многоугольника 8 сторон и R = 4 см.

  • Число сторон в многоугольнике равно числу углов в этом многоугольнике.

\Rightarrow данный многоугольник - восьмиугольный.

Обозначим данный восьмиугольник буквами ABCDE F G H.

Около восьмиугольника ABCDE F G H описана окружность с центром в точке O, по условию.

Проведём диагонали AE, BF, CG, DH..

AO = OD = CO = OE = BO = OF, так как они радиусы описанной около шестиугольника окружности.

  • Диагонали правильного восьмиугольника делят его на 8 равных равнобедренных треугольников.

\Rightarrow \triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle DOE = \triangle EOF = \triangle FOG = \triangle GOH (а они ещё и равнобедренные).

\Rightarrow AO = OB = OC = OD = OE = OF = OG = OH, по свойству равнобедренного треугольника. Также эти стороны - радиусы описанной около данного восьмиугольника окружности.

S\triangle AOB = \dfrac{1}{2} \cdot AO \cdot OB \cdot sin(AOB) = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot sin(45^{\circ}) = 2 \cdot 4 \cdot \dfrac{\sqrt{2} }{2} = 4\sqrt{2}см²

\Rightarrow S восьмиугольника =  S \triangle AOB\cdot 8 = 4\sqrt{2} \cdot 8 = 32\sqrt{2} см².

2) у многоугольника 9 сторон и R = 4 см.

  • Число сторон в многоугольнике равно числу углов в этом многоугольнике.

\Rightarrow данный многоугольник - девятиугольный.

Обозначим данный девятиугольник буквами ABCDE F G H R.

Около девятиугольника ABCD E F G H R описана окружность с центром в точке O.

Соединим центр окружности с вершинами данного девятиугольника.

Отрезки OA, OB, OC, OD, OE, OF, OG, OH, OR - радиусы описанной около девятиугольника окружности, поэтому они равны.

Итак, в данном девятиугольнике 9 равнобедренных равных треугольников:

\triangle AOB, \triangle BOC, \triangle COD, \triangle DOE, \triangle EOF, \triangle FOG, \triangle GOH, \triangle HOR, \triangle ROA.

BO = OA = 4 см (они радиусы описанной окружности).

В окружности всего 360^{\circ}.

Тогда \angle BOA = 360^{\circ} : 9.\\

S \triangle AOB = \dfrac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot sin(\dfrac{360^{\circ}}{9} ). \Rightarrow  S девятиугольника = 9 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot sin(\dfrac{360^{\circ}}{9} )=72 \cdot sin(\dfrac{360^{\circ}}{9} )= 72 \cdot sin(40^{\circ}) \approx 46,28071 \approx 46см²

Приложения:
Похожие вопросы