Предмет: Математика
Автор: igorShap
Вопрос задан 2 года назад

< >

Найдите $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sum\limits_{k=1}^n k^\alpha}{n^2}, \alpha\ \textless \ 1$

Ответы

Ответ дал: KayKosades

2

Ответ:

0.

Пошаговое объяснение:

Обозначим

$x_n=\sum\limits_{k=1}^nk^\alpha \\y_n=n^2$

Очевидно, $y_n$ возрастает и при этом множество членов этой последовательности неограниченно сверху.

Вычислим предел $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}$ , учитывая что $\alpha -1<0$ :

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sum\limits_{k=1}^nk^\alpha - \sum\limits_{k=1}^{n-1}k^\alpha }{n^2-(n-1)^2} =\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^\alpha }{2n-1} =\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^{\alpha-1} }{2-\frac{1}{n} }=0$

Этот предел существует, поэтому, по теореме Штольца, искомый предел также равен нулю.

Похожие вопросы

История

1 год назад

результаты аграрной политики

Алгебра

1 год назад

Решить уравнение 1) корень X+1=3 2)корень 10+2x=4 3)3 степень корень у+4=3 4) 6 степень корень X-64=2

Русский язык

2 года назад

подбери антоним к слову робкий

Русский язык

2 года назад

сделать синтактический разбор предрожения : подъём к горному озеру , окружённому столетними соснами , оказался отнюдь не тяжёлым харсктеристеку и схему

Алгебра

7 лет назад

Помогите решыть 4 и 6 задание даю 20 балов!

Обществознание

7 лет назад

В чем ключевое отличие гражданского общества от политической организации?

Физика

8 лет назад

Помогите с физикой задание 1

История

8 лет назад

Что означает выражение иерихонские стены